文档介绍：两角和与差、二倍角的公式(三)
●知识梳理

(1)能求出值的应求出值.
(2)使三角函数种数、项数尽量少;分母尽量不含三角函数;被开方式尽量不含三角函数.

(1)活用公式(包括正用、逆用、变形用).
(2)切割化弦、异名化同名、异角化同角等.

(1)注意特殊角的三角函数与特殊值的互化.
(2)注意利用代数上的一些恒等变形法则和分数的基本性质.
(3)注意利用角与角之间的隐含关系.
(4)注意利用“1”的恒等变形.
●点击双基
=+sinαsinβ的一组α、β的值是
=,β= =,β=
=,β= =,β=
解析:由已知得cos(α+β)=,代入检验得A.
答案:A
(-α)是方程ax2+bx+c=0的两个根,则a、b、c的关系是
=a+c =a+c
=b+a =ab
解析:∴tan==1.
∴-=1-.∴-b=a-c.∴c=a+b.
答案:C
(x)=的值域为
A.(--1,-1)∪(-1,-1)
B.[,-1)∪(-1,]
C.(,)
D.[,]
解析:令t=sinx+cosx=sin(x+)∈[-,-1)∪(-1,],
则f(x)==∈[,-1)∪(-1,].
答案:B
-cosβ=,sinα-sinβ=,则cos(α-β)=_______.
解析:(cosα-cosβ)2=,(sinα-sinβ)2=.
两式相加,得2-2cos(α-β)=.∴cos(α-β)=.
答案:
●典例剖析
【例1】求证:-2cos(α+β)=.
剖析:先转换命题,只需证sin(2α+β)-2cos(α+β)·sinα=sinβ,再利用角的关系:2α+β=(α+β)+α,(α+β)-α=β可证得结论.
证明:sin(2α+β)-2cos(α+β)sinα
=sin[(α+β)+α]-2cos(α+β)sinα
=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα-2cos(α+β)sinα
=sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=sin[(α+β)-α]=sinβ.
两边同除以sinα得
-2cos(α+β)=.
评述:证明三角恒等式,可先从两边的角入手——变角,将表达式中出现了较多的相异的角朝着我们选定的目标转化,然后分析两边的函数名称——变名,将表达式中较多的函数种类尽量减少,这是三角恒等变形的两个基本策略.
【例2】 P是以F1、F2为焦点的椭圆上一点,且∠PF1F2=α,∠PF2F1=2α,求证:椭圆的离心率为e=2cosα-1.
剖析:依据椭圆的定义2a=|PF1|+|PF2|,2c=|F1F2|,∴e=.
在△PF1F2中解此三角即可得证.
证明:在△PF1F2中,由正弦定理知
==.
由比例的性质得=
e===
=
==2cosα-1.
评述:恰当地利用比例的性质有事半功倍之效.
深化拓展
求cot10°-4cos10°的值.
分析:给出非特殊角,怎样化为特殊角或非特殊角,互相抵消、约分求出值.
提示:cot10°-4cos10°
=-4cos10°