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第三章向量空间
一、复习建议
本章内容相对比较抽象,学习过程中要注重教师讲解和概念理解。从题型来讲,选择题、
计算题均有可能出现,因此,都要加以练习。本章节的主要脉络是向量之间关系包括线性相
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关和无关等,最大无关向量组和其应用,秩和向量正交等概念.
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二、本章重要知识点
第一节向量空间
本节主要是概念学、历年
(一)n 维向量定义
(1)n 维向量,列向量,横向量,无特殊说明向量指的是列向量.
(2)向量零向量和负向量加法和数乘法
(二)向量运算法则
向量加法结合律:u + (v + w) = (u + v) + w, 
向量加法交换律:u + v = v + u,
存在向量加法的单:V 里存在一个叫做零向量的元素,记作 0,使得对任意 u  ∈ 
V,都有 u + 0 = u,
向量加法的反元素:对任意 u  ∈  V,都存在 v  ∈  V,使得 u + v = 0。
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纯量乘法对向量加法满足分配律:a ∙ (v + w) = a ∙v + a ∙w. 
纯量乘法对体加法满足分配律:(a + b) ∙v = a ∙v + b ∙v. 
纯量乘法与纯量的体乘法相容:a(b ∙v) = (ab) ∙v. 
纯量乘法有单位元素:体 F 的乘法单位元素「1」满足:对任意 v,1 ∙v = v。
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(三)向量空间
设 V 是由一些 n 维向量组成的向量集合,如果 V 关于向量的线性运算满足:  软件商城:
(1)  对于 V 中任意两个向量α1,α2,和向量α1+α2  也是 V 中的向量; 
(2)  对于 V 中任意向量α及任常数 k,数量乘积也是 V 中的向量, 
则称 V 是一个向量空间。
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第二节线性关系
(一)向量的线性组合即线性相关和无关的定义
在线性代数里,向量空间的一组元素如果其中没有向量可表示成有限个其他向量的线性
组合称为线性无关,反之称为线性相关。
(二)线性相关和线性无关法则
定理 1 向量组 a1,a2,a3….an 线性相关的充分必要条件是存在不全为零的常数 k1,
k2, kn,使得 a1 k1+ k2a2+k3a3…+ kn an=0.
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定理  2  向量组 a1,a2,a3….an 线性无关的充分必要条件是仅当常数 k1= k2=
kn=0,使得
a1 k1+ k2a2+k3a3…+ kn an=0.
定理 3  若 a1,a2,...,as 线性无关,而 b,a1,a2,...,as线性相关,则 b 必可由 a1,a2,...,as线自考
性表示,且表示系数唯一。
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定理 4  若一向量组相关,则加上任意个向量后,仍然线性相关;即局部线性相关,
整体必线性相关。
整体线性无关,局部必线性无关。真题模考软件、串讲笔记、历年
定理  5  设向量组 a1,a2,...,as    R n,   则下列结论成立: 
(1) a1,a2,...,as 线