文档介绍：协方差与相关系数
对于二维随机向量(X,Y)来说,数学期望E(X)、E(Y)只反映了X与Y各自的平均值,方差只反映了X与Y各自离开均值的偏离程度,它们对X与Y之间相互关系不提供任何信息.
但二维随机向量(X,Y)的概率密度p(x,y)或分布列pij全面地描述了(X,Y)的统计规律,.
问题的提出：
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二、相关系数的概念及性质
一、协方差的概念及性质
三、协方差的关系式
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定义：设二维随机向量(X,Y)的数学期望(E(X),E(Y))存在,若E[(X-E(X))(Y-E(Y))]存在,则称它为随机变量X与Y的协方差,记为Cov(X,Y),即
Cov(X,Y)= E[(X-E(X))(Y-E(Y))]
协方差有计算公式
Cov(X,Y)= E(XY)-E(X)E(Y)
任意两个随机变量X与Y的和的方差为
D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)
§1 协方差
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协方差的性质
1.
2.
a,b是常数
3.
4.
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定理:Cov(X,Y)=Cov(Y,X)
证明 Cov(X,Y)= E[(X-E(X))(Y-E(Y))]
= E[(Y-E(Y)) (X-E(X))]
= Cov(Y,X)
定理: Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),a,b是常数
证明 Cov(aX,bY)=E[(aX-E(aX))(bY-E(bY))]
=E{[a(X-E(X))][b(Y-E(Y))]}
=abE{[X-E(X)][Y-E(Y)]}
=abCov(X,Y)
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定理:Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z)
证明 Cov(X+Y,Z)
=E{[(X+Y)-E(X+Y)][Z-E(Z)]
= E{[(X-E(X))+(Y-E(Y))][Z-E(Z)]}
= E{[X-E(X)][Z-E(Z)]
+[Y-E(Y)][Z-E(Z)]}
=E{[X-E(X)][Z-E(Z)]}
+E{[Y-E(Y)][Z-E(Z)]}
=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z)
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协方差的数值在一定程度上反映了X与Y相互间的联系,*=kX,Y*=kY,这时X*与Y*间的相互联系和X与Y的相互联系应该是一样的,但是
Cov(X*,Y*)=k2Cov(X,Y)
为了克服这一缺点,在计算X与Y的协方差之前,先对X与Y进行标准化:
再来计算X*和Y*的协方差，这样就引进了相关系数的概念.
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定义:设二维随机变量(X,Y)的方差D(X)>0,D(Y)>0,协方差Cov(X,Y)均存在,则称
为随机变量X与Y的相关系数或标准协方差.
§2 相关系数
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引理:对于二维随机向量(X,Y),若E(X2),E(Y2)存在,则有
|E(XY)|2≤E(X2)E(Y2)
证明:考虑实变量t的二次函数
h(t)=E[(tX-Y)2]=t2 E(X2)-2tE(XY)+E(Y2)
因为对一切t,有(tX-Y)2≥0,所以h(t)≥0.
从而二次方程h(t)=0或者没有实根,或者只有重根,因而，由二次方程根的判别式知识得
|E(XY)|2≤E(X2)E(Y2)
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§ 相关系数的性质
性质1:随机变量X和Y的相关系数满足|ρXY|≤1.
性质2: |ρXY|=1 的充要条件是,存在常数a,b使得
P{Y=a+bX}=1.
性质3:若X与Y相互独立,则ρXY=0.
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