文档介绍：线段的垂直平分线的性质（第二课时）
年级：八年级学科：数学（人教版）
主讲人：李岩学校：北京市第四中学
图示
性质
定理
角平分线
A
C
B
P
M
N
角平分线上的点到角两边的距离相等．
∵PC平分∠ACB，
PM⊥AC，PN⊥BC，
∴PM=PN．
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
∵PM⊥AC，PN⊥BC，
PM=PN，
∴PC平分∠ACB．
复****回顾
图示
性质
线段的垂直平分线
A
B
l
C
P
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
∵直线l是线段AB的垂直平分线，
∴PA=PB．
猜想
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
复****回顾
∵PA=PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上．
如图，已知PA=PB，
求证：点P在AB的垂直平分线上.
l
C
B
A
P
分析：要证点P在AB的垂直平分线上，
只需证点P和AB的中点C所连直线PC是AB的垂直平分线，即PC⊥AB．
只需证△PAC≌△PBC（SSS）．
取中点，证垂直
如图，已知PA=PB，
求证：点P在AB的垂直平分线上.
l
C
B
A
P
证明：取AB中点C，作直线PC．
∴AC=CB．
∵在△PAC和△PBC中，
∵∠ACP+∠BCP=180°，
∴∠ACP=∠BCP=90°．
∴PC⊥AB．
∴PC是AB的垂直平分线，
即点P在AB的垂直平分线上．
∴△PAC≌△PBC(SSS) ．
∴∠ACP=∠BCP．
【小结】
此方法可以称为“取中点，证垂直”，也可以“作垂直，证中点”，
留给同学们自主完成．
l
C
B
A
P
如图，已知PA=PB，
求证：点P在AB的垂直平分线上.
定理：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
例如图，AD为∠BAC的平分线，DE ⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：AD是EF的垂直平分线．
分析：要证AD是EF的垂直平分线，只需证点A和点D都在EF的垂直平分线上，
也就是要证AE=AF，DE=DF．
A
B
C
D
E
F
证明：∵AD为∠BAC的平分线
∴∠DAE=∠DAF．
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED=∠AFD=90°．
∵在△ADE和△ADF中，
∴AE=AF，DE=DF．
∴点A和点D都在EF的垂直平分线上．
∴AD是EF的垂直平分线．
∴△ADE≌△ADF（AAS）．
A
B
C
D
E
F
例如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，分别交BC于点D,E，已知△ADE的周长为5 cm．
（1）求BC的长；
（2）求证：点O在BC的垂直平分线上．
解：（1）∵AB的垂直平分线是OM，
AC的垂直平分线是ON，
∴AD=BD，AE=CE．
∵△ADE的周长为AD+DE+AE=5 cm，
∴BC=BD+DE+CE=AD+DE+AE=5 cm．
证明：（2）连接OA，OB，OC，
∵AB的垂直平分线是OM，
AC的垂直平分线是ON，
∴OA=OB，OA=OC．
∴OB=OC．
∴点O在BC的垂直平分线上．
例如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，分别交BC于点D,E，已知△ADE的周长为5 cm．
（1）求BC的长；
（2）求证：点O在BC的垂直平分线上．