文档介绍：1 , 2 , 3 , 4 , 5 ,……这些简简单单的自然数，是我们从呀呀学语开始就认识的。它们是那样自自然然，因而显得平淡无奇。但我们如果认真研究一下这些数字，就会发现其中妙趣横生。聪明的数学王子高斯在小学的时候就会巧算自然数列之和，这正是由于他对自然数有深刻的了解。高斯小时候在德国的一所农村小学读书。数学老师是位从城里来的先生。他瞧不起穷人的孩子，从不认真教他们，甚至还打骂学生。有一天，他情绪很坏，一上课就命令学生做加法，从1一直加到100，谁算不到就不准回家。所有的孩子都急急忙忙地算起来，老师却在一边看小说，不一会儿，小高斯就算出了结果是5050。老师大吃一惊，奇怪他怎么算得这么快。原来，高斯并不是按1+2+3+4… …的顺序计算的。而是把1到100一串数，从两头向中间，一头一尾两两相加，每两个数的和都是101。例如：1+100、2+99、3+98… …，直到50+51，和都是101。这样，100个数正好是50对，因此，101×50就得出5050的总和了。从此，老师再也不敢轻视穷孩子们了。他还从城里买来书，送给高斯，热心帮助他学数学，高斯进步得更快了。小高斯所用的方法，正是许多数学家经过长期努力才找到的等差数列求和的办法。这个故事人人皆知，它说明努力发现和巧妙利用规律是多么重要。现在让我们再看看自然数还有哪些有趣的性质。
我们前面提到过完全数和友好数，除了这两种有趣的数以外，自然数中还有一类数被称为"自守数"。所谓自守数就是自已和自己相乘以后得到的数，尾数不变。在自然数中凡末尾数是1、5和6的数，不论自乘多少次，尾数仍然是1、5、6。 例如：
21×21=421
21×21×21=9261
325×325=105625
6×6×6×6=1296
这样的结论是不是完全正确呢？我们可以用代数方法加以证明。让我们以末尾是6的数为例。这样的数可以表示成 ，这里a为任意自然数，那么：
由于a是自然数，得到的结果也必定是自然数，可见它的个位必定是6。高次方情况下也如此，证明从略。用同样方法可以证明1、5结尾的数也是自守数。
如果把尾数取到两位，还有没有自守的性质呢？有。比如末尾是25和76的数就是自守数。
如果尾数取到三位、四位或更高位数，还能找到自守数吗？经过数学家的计算寻觅，发现尾数为376、9376、09376、109376、7109376……以及末尾是625、0625、90625、890625、2890625、……的数都是自守数。
让我们再来看看自然数中的奇数和偶数。
奇数数列是1,3,5,7,…n ,… （n为项数）偶数数列是2,4,6,8,…2n ,…（n为项数）人们研究奇数，发现如下的性质：
这个结论可以用数学归纳法来证明，不过相当麻烦。其实我们只要画一张最简单的方格图，这个性质就一目了然了。图中除左下角的"·"代表"1"以外，每条虚线分别代表一个奇数。这张图清楚地说明了为什么自然数中奇数数列各项之和等于项数的平方。
自然数中偶数数列则有如下的性质：
2=1×2 2+4=6=2×3
2+4+6=12=3×4
2+4+