文档介绍：平行与垂直综合问题
点、直线、平面之间的位置关系
能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.
自测自评
、β表示平面,a、b表示直线,则能使得a∥α成立的条件是( )
⊥β,且a⊥β ∩β=b,且a∥b
∥b,且b∥α ∥β,且a⊂β
,β,γ,之间有α∥γ,β⊥γ,则α与β( )

,在平面a内不可能有直线m,使m与l( )

D
A
A
: 其中真命题有________.
①如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直
①②④
线面垂直、面面垂直的综合问题
如右图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为a的正方形,侧棱PD=a,PA=PC=a,
(1)求证:PD⊥平面ABCD;
(2)求证:平面PAC⊥平面PBD;
(3)求证:二面角P-BC-D是45°的二面角.
分析:由题目可获取以下主要信息:①ABCD是正方形,边长为a;②PD=a,PA=PC=a.
解答本题第(1)(2)问可先根据需证问题寻找相关元素,(3)问可先找出二面的平面角,再证明平面角等于45°.
证明:(1)∵PD=a,DC=a,PC= a,
∴PC2=PD2+DC2,∴PD⊥DC.
同理可证PD⊥AD,又AD∩DC=D,
∴PD⊥平面ABCD.
(2)由(1)知PD⊥平面ABCD,
∴PD⊥AC,而四边形ABCD是正方形,
∴AC⊥BD,又BD∩PD=D,
∴AC⊥平面PDB.
同时AC⊂平面PAC,
∴平面PAC⊥平面PBD.
(3)由(1)知PD⊥BC,
又BC⊥DC.∴BC⊥平面PDC,
∴BC⊥PC.
∴∠PCD为二面角P-BC-D的平面角.
在Rt△PDC中,PD=DC=a,
∴∠PCD=45°.
∴二面角P-BC-D是45°的二面角.