文档介绍：高等院校非数学类本科数学课程
——一元微积分学
大学数学(一)
第十五讲导数的概念
脚本编写、教案制作:刘楚中彭亚新邓爱珍刘开宇孟益民
第四章一元函数的导数与微分
本章学习要求:
理解导数和微分的概念。熟悉导数的几何意义以及函数的可
导、可微、连续之间的关系。
熟悉一阶微分形式不变性。
熟悉导数和微分的运算法则,能熟练运用求导的基本公式、
复合函数求导法、隐函数求导法、反函数求导法、参数方程
求导法、取对数求导法等方法求出函数的一、二阶导数和微
分。
了解 n 阶导数的概念,会求常见函数的 n 阶导数。
熟悉罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰
勒中值定理,并能较好运用上述定理解决有关问题(函数方
程求解、不等式的证明等)。
掌握罗必塔法则并能熟练运用它计算有关的不定式极限。
第一节导数的概念
第四章一元函数的导数与微分

四. 函数的增量与导数的关系

1. 物理背景
2. 几何背景

在真空中, 当时间由t 变到t+t 时, 自由
非匀速运动物体的速度问题
落体所经过的路程为
例1
物体由 t 到 t + t 一段的平均速度是
求物体在时刻 t 的瞬时速度 vt , 就是
令t0 的极限过程:
从物理学看, 当t0 时, 应该有
这是否也说明了一个什么问题?
P
l
l
力学中的线密度问题
设有一根可视为直线的棒上非均匀地分布着质量.
直线的一端为原点, 线段 OP 的长度为 l, 质量为 m,
则 m 是 l 的函数:m = f (l ). 求点 P 处的线密度.
例2
O
给 l 一个增量l, 则l 这一段( PP' ) 的平均密度是
而在 P 点处的线密度就是l  0 平均密度的极限:
比较两个极限式:
与
平面曲线上切线的概念
割线PQ
切线PT
切点
2. 数学背景—平面曲线的切线问题
沿曲线趋近于点 A 时的极限位置.
平面曲线 y = f (x) 的切线:
曲线在点 A(x0, y0) 处的切线 AT 为过曲线上
点 A 的任意一条割线 AA’当点 A’(x0+x, y0+ y)
定义
切线方程:
其中,