文档介绍：2001 年全国硕士研究生入学统一考试
理工数学一试题详解及评析
一、填空题
x
(1)设 yec=+()12sin xc cos x( cc12, 为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的同
解,则该方程为.
【答】 yyy''−+=220 ' .
【详解】方法一看出所给解对应的特征根为λ1,2 =1± i ,从而特征方程为()λ−+()1,i
()λλλ−−()1220,i =2 −+=于是所求方程为 yyy''− 220 ' +=.
方法二将已知解代入 ybycy''++= ' 0 ,得
xx x x
esin ⋅−+−+()()1212 2 cos ⋅+++( ( 1221) 2 ) .由于 exsin 与 excos
线性无关,故 bc()12−+= 12, c 2 bc( 12 ++ c) cc 2 =− 2 c 1,解得 bc= −=2, 2
显然解法 2 较解法 1 麻烦.
x
方法三、由通解 yec=+()12sin xc cos x,求得
' x
=−()()12sin xcc ++( 12) cos x
'' x
ye=−()2sin2cos c21 xc + x
'' '
从这三个式子消去 c1 与 c2 ,得 yyy−+=220
(2)设 rxyz=++222, 则 div() gradr = .
|()1,− 2,2
2
【答】.
3
【详解】根据定义有
∂∂rr ∂ rxyz
gradr=+ i j + k =++ i j k
∂∂xy ∂ zrrr
⎛⎞xyz ⎛⎞⎛⎞
∂∂∂⎜⎟⎜⎟⎜⎟ 22 22 22 2
rrrrxryrz−−−22 r
div() gradr =++=⎝⎠⎝⎠⎝⎠+ + ==
∂∂∂x yzr3333 r rrr
22
于是 div() gradr ==
|()1,− 2,2 2
12222+−() + 3
01− y
(3)交换二次积分的积分次序: dy f() x, y dx = .
∫∫−12
21−x
【答】 dx f() x, y dy .
∫∫10
【详解】因为
01− y 02
dy f() x,,, y dx=− dy f () x y dx
∫∫−−−12 ∫∫ 11y
积分区域为 Dxyy=−≤≤−≤≤{(),|1 0,1 yx 2,}
又可将 D 改写为
Dxyx=≤≤−≤≤{(),|12,1 xy 2,}
于是有
01− y 02 20
dy f() x,,, y dx=− dy f () x y dx =− dx f () x y dy
∫∫−−−−12 ∫∫ 11yx ∫∫ 1
21−x
= dx f() x , y dy
∫∫10
−1
(4)设矩阵 A 满足 AAEO2 + −=4 ,其中 E 为单位矩阵,则()A − E = .
1
【答】()A + 2E .
2
【答】由题设, A2 + AEO−=4 ,
有 AAE2 +−22 = E,
()()A −+=EA22, E E
1
也即()A −⋅EAEE() +2, =
2
−1 1
故()AE−= ()A + 2E
2
(5)设随机变量 X 的方差为 2,则根据切比雪夫不等式有估计 PX{ − EX()≥≤2} .
1
【答】.
2
【详解】根据切比雪夫不等式有
DX( ) 1
PX− EX()≥≤2 =
{}222
二、选择题
(1)设函数 f ()x 在定义域内可导, yfx= ( ) 的图形如右图所示,则导函数 yfx= ' ()的图
形为
【】
【答】应选(D)
【详解】从题设图形可见,在 y 轴的左侧,曲线 yfx= ( ) 是严格单调增加的,因此当 x < 0
时,一定有 fx' ()> 0 对应 yfx= ' ()图形必在 x 轴的上方,由此可排除(A),(C);
又 yfx= ()的图形在 y 轴右侧有三个零点,因此由罗尔中值定理知,其导函数 yfx= ' ()图
形在 y 轴一定有两个零点,进一步可排除(B).
故正确答案为(D).
''
(2)设函数 f ()xy, 在点()0,0 附近有定义,且 ffxy(0,0) = 3,( 0,0) = 1,则
(A) dz=+3. dx dy
|()0,0
(B)曲面 zfxy= (), 在点()0,0,f ( 0,0) 的法向量为{3,1,1}