2001数学二.pdf

文档介绍：2001 年全国硕士研究生入学统一考试
理工数学二试题详解及评析

一、填空题
31−−x +x
(1) lim = .
x→1 xx2 +−2
2
【答】−
6
31−−x +x 21( − x) 1
【详解】 lim = lim ⋅
x→1 xx2 +−2 x→1 ()()xx−+1231− x ++x
11
=− lim
2 x→1 x + 2

− 2
=⋅
6
(2)设函数 yfx= ()由方程 exye2xy+ −=−cos( ) 1所确定,则曲线 yfx= ( ) 在点()0,1 处的法
线方程为.
【答】 xy−+=220.
【详解】在等式 exye2xy+ −=−cos() 1两边对 x 求导,得
eyxyyxy2'xy+ ⋅+()2sin +( ) ⋅+( ') = 0,
将 x ==0,y 1 代入上式,得 y' ()02.=−故所求法线方程为
1
yx−=1,
2
即 xy−+=220.
π
2 32 2
(3) π x +=sinxxdx cos .
∫−()
2
π
【答】
8
⎡⎤ππ
【详解】在区间−, 上, x32cos x 是奇函数, sin22x cos x 是偶函数,
⎣⎦⎢⎥22
故
πππ
2 32 2 2232 2 21 2
π x +=sinxxdx cos ππx cosxxxdxxdx+= sin cos sin 2
∫−() ∫∫−−()
2 224
π
1 2
=−π()1cos4x dx
8 ∫−
2
π
= .
8
⎛⎞1 ' y
(4)过点⎜⎟,0 且满足关系式 yxarcsin+ = 1的曲线方程为.
⎝⎠2 1− x2
1
【答】 yxxarcsin= −.
2
【详解】方法一:
y
原方程 yx' arcsin+= 1可改写为
1− x2
'
()yxarcsin= 1,
两边直接积分,得
yxxcarcsin=+ .
⎛⎞1 1
又由 y ⎜⎟= 0, 解得 c =−.
⎝⎠2 2
故所求曲线方程为:
1
yxxarcsin=−.
2
方法二:
将原方程写成一阶线性方程的标准形式
11
yy' +=.
1arcsin− xx2 arcsin x
1
⎡⎤∫ dx
11⎢⎥2
−+dx c e1arcsin−xx dx
∫∫2 ⎢⎥arcsin x
1arcsin−xx⎢⎥1
解得 ye= ecx⎣⎦=+(),
arcsin x
⎛⎞11
yc⎜⎟=⇒=−0.
⎝⎠22
故曲线方程为:
1
yxxarcsin= −.
2
⎡⎤⎡⎤⎡⎤ax111 1
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
(5)设方程 11ax= 1有无穷多个解,则 a = .
⎢⎥⎢⎥⎢⎥2
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦11ax3 − 2
【答】-2
【详解】方法一:
利用初等行变换化增广矩阵为阶梯形,有
⎡⎤⎡⎤aa11## 1 1 1− 2
⎢⎥⎢⎥
##
Aa=→−−→⎢⎥⎢⎥111011 a a 3
2
⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥11aaaa##−−−+ 2 01 1 12
⎡⎤11a # − 2
⎢⎥
⎢⎥01aa−−() 1# 3,
⎣⎦⎢⎥00()()()aa−+ 1 2# 2 a + 2
可见,只有当 a =−2 时才有秩 rA()==< rA() 23,对应方程组有无穷多个解.
方法二:
当系数矩阵的行列式不为零时,方程组有唯一解,因此满足题设条件的 a 一定使系数行列式
为零,即有
a 11
2
11aaa=+()() 210, −=
11a
解得 a =−2 或 a =1.
由于答案有两个,,当 a =1时,原方程无解,因此只能是 a =−2.

二、选择题
⎧1, x ≤1,
(1)设 fx()= ⎨, 则 f { ffx⎣⎡()⎦⎤} 等于
⎩0, x >1
(A) 0 . (B)1.
⎧1, x ≤1, ⎧0, x ≤1,
(C) ⎨(D)⎨
⎩0, x >1. ⎩1, x >1.

【】
【答】应选(B).
【详解】因为 fx()≤1,
于是 ffx⎣⎦⎡⎤()=1,
从而 ff{ ⎣⎦⎡⎤() x} =1.
故正确选项为(B)