文档介绍：郝海龙:考研数学复习大全·配套光盘·1987 年数学试题参考解答

1987 年全国硕士研究生入学统一考试
数学试题参考解答
数学(试卷Ⅰ)
一、填空题(每小题 3 分,满分 15 分. 只写答案不写解题过程)
x 1 x1 y  2 z  1
(1) 与两直线及都平行,且过原点的平面方程是
 yt1  1 2 1

zt2
xy50 
(2) 当 x 1/ ln 2 ;时,函数 yx 2x 取得极小值.
(3) 由 yx ln 与两直线 y( e  1)  x 及 y  0 围成图形的面积= 3 / 2
(4) 设 L 为取正向的圆周 x2  y2  9 ,则曲线积分(2xy  2y)dx (x2  4x)dy 的值是
L
18.
(5) 已知三维线性空间的一组基底1 (1,1,0), 2 (1,0,1), 3 (0,1,1) ,则向量
=( 2 , 0 , 0 ) 在上述基底下的坐标是( 1 , 1 , -1 )
二、(本题满分 8 分)
2
1 x t
求正的常数 a 与 b ,使式 lim dt  1成立.
0
x0 bx  sin x a  t 2
解:假若b 1,则根据洛必达法则有
22
11x tx
limdt  lim( )  0  1,与题设矛盾,于是b 1.
0 22
xx00bxsin xa t b cos x a x
2 2 2
1x t 1 x 1 x 2
此时 limdt  lim( )  lim( ) ,
x00 2 x  0 2 x  0 1 2 2
bxsin xa t 1 cos x a  x2 x a  x a
2
即1,因此 a  4 .
a
三、(本题满分 7 分)
uv
(1) 设函数 fg, 连续可微,u f( x , xy ), v  g ( x  xy ) ,求,.
xx
u  x () xy v () x  xy
解: f f  f  y  f ; g(1  y )  g .
x1  x 2  x 1 2 xx
1987 年•第 1 页
郝海龙:考研数学复习大全·配套光盘·1987 年数学试题参考解答
3 0 1
(2) 设矩阵 A 和 B 满足 AB A2 B ,其中 A ,求矩阵 B .
1 1 0
0 1 4
解:因 AB A2 B ,故 AB2 B A,即(A 2 E ) B A,
5 2 2
故 B( A  2 E )1 A .
4 3 2

2 2 3
四、(本题满分 8 分)
求微分方程 y6 y (9  a2 ) y  a  0 .
3 2 2
解:由特征方程 r2 r (9  a ) r  0,知其特征根根为 r10, r 2,3  3  ai .
33xx
故对应齐次方程的通解为 y C1  C 2 ecos x  C 3 e sin x ,其中C1,, C 2 C 3 为任意常数.
1
设原方程的特解为 y*() x Ax ,代入原方程可得 A .
9  a2
1
因此,原方程的通解为 y( x ) y  y*  C  C e 3xx cos x  C e 3 sin x  x .
1 2 3 9  a2
五、选择题(每小题 3 分,满分 12 分)
 k  n
(1) 设常数 k  0 ,则级数(1) n (C)
 2
n1 n
(A) 发散(B) 绝对收敛(C) 条件收敛(D) 收敛与发散与 k 的值有关.
s
(2) 设 f (x) 为已知连续函数,I  t t f (tx)dx,st0, 0 ,则 I 的值(D)
0
(A) 依赖于 s 和 t (B) 依赖于 s 、t 、 x
(C) 依赖于 t 和 x , 不依赖于 s (D) 依赖于 s , 不依赖于t
f (x)  f (a)
(3) 设 lim 1,则在点 xa处(B)
xa (x  a)2
(A) fx