文档介绍：高等院校非数学类本科数学课程
——一元微积分学
大学数学(一)
第三十讲一元微积分的应用(六)
脚本编写:刘楚中
教案制作:刘楚中
——微积分在物理中的应用
第七章常微分方程
本章学习要求:
了解微分方程、解、通解、初始条件和特解的概念.
了解下列几种一阶微分方程:变量可分离的方程、齐次方
程、一阶线性方程、伯努利(Bernoulli)方程和全微分
.
会利用变量代换的方法求解齐次方程和伯努利方程.
知道下列高阶方程的降阶法:
了解高阶线性微分方程阶的结构,并知道高阶常系数齐线
性微分方程的解法.
熟练掌握二阶常系数齐线性微分方程的解法.
掌握自由项(右端)为多项式、指数函数、正弦函数、余
弦函数以及它们的和或乘积的二阶常系数非齐线性微分方
程的解法.
第四节二阶常系数线性微分方程
一、高阶线性微分方程的一般理论
二、二阶常系数齐线性微分方程的解
三、二阶常系数非齐线性微分方程的解
一、高阶线性微分方程的一般理论
n 阶线性方程的一般形式为
二阶线性微分方程的一般形式为
通常称( 2 ) 为( 1 ) 的相对应的齐方程。
我们讨论二阶线性方程的一般理论,所得结论可自然推广至 n 阶线性方程中。
1. 二阶齐次线性微分方程的性质和解的结构
(1) 叠加原理
的解,则它们的线性组合
也是方程(2) 的解,
你打算怎么证明这个原理?
证
的解,则它们的线性组合
也是方程(2) 的解。
推广
在什么情况下,叠加所得可以成为方程(2) 的通解?
(2) 线性无关、线性相关