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高斯消去法,主元消去法
高斯消元法与选主元
高斯消元法是一个古老的直接法,由它改进得到的选主元的消元法,是目前计算机上常用于求低阶稠密矩阵方程组的有效方法,其特点就是通过消元将一般线性方程组的求解问题转化为三角方程组的求解问题
一问题的描述
(一)引言为便于以下讨论,把涉及到的有关名词及问题的引出暂介绍如下:
如果未知量的个数为 n ,而且关于这些未知量x1,x2, …,xn 的幂次都是一次的(线性的),那末, n 个方程
a11x1+a12x2+ …+a1nxn=b1
┆┆┆(1)
an1x1+an2x2+ …+annxn=bn
构成一个含 n 个未知量的线性方程组,称为 n 阶线性方程组其中,系数a11,…,a1n,a21, …,a2n, …,an1, …,ann 是给定的常数;b1, …,bn 也是给定的常数,通常称为常数项,或称为方程组的右端.
方程组(1)也常用矩阵的形式表示,写为
Ax=b
其中,A是由系数按次序排列构成的一个n阶矩阵,
称为方程组的系数矩阵,x和b都是n维向量,称为方程
组的右端向量
.
使方程组(1)中每一个方程都成立的一组数x1*,x2*, …,xn* 称为式(1)的解,把它记为向量的形式,称为解向量.
我们总是希望方程组有解,(cramer)规则可知,如果方程组(1)的系数矩阵A的行列式(一般记为D=ⅠAⅠ)不等于零,那末,这个方程组有唯一解,而且它们可以表示为
xi=Di/D (i=1,…,n)
这里,Di是指D中第i列元素用右端b1,… bn代替构成的行列式.
如果方程组(1)有唯一解,我们按上面的等式求解,就必须计算n+,n阶行列式包含有n!项,每一项含有n个因子,计算一个n阶行列式就需要做(n-1)n!+1个n阶行列式,共需做(n2-1)n!,还要做n次除法才能算出xi(i=1,… n).也就是说,用这个办法求解就要做
N=(n2-1)n!+n
次乘除法运算,,当n=10(即求解一个含10个未知量的方程组),乘除法的运算次数共为32659210次;
当=40,,,.
(二)求解线形方程组的消元法
消(元)去法是求解线形方程组
Ax=b (3)
和满秩矩阵的逆阵A-,但它具有演算步骤,推算公式都系统化的特点(对其中选主元消去法,还可以证明是稳定的).因此,它至今仍然是求解方程组的一种有效的方法.
消去法可以引出几种计算方法,下面按三角形方程组和一般线性方程组的顺序来讨论.
三角形方程组包括上三角形方程组和下三角形方程组,是是最简单的线性方程组之一,实际上消元法就是通过简化一般线性方程组为三角形方程组后再求解的。上三角方程组的一般形式是:
(一) 高斯消去法的求解过程,可大致分为两个阶段:首先,把原方程组化为上三角形方程组,称之为“消去”过程;然后,用逆次序逐一求出三角方程组(原方程组的等价方程组)的解,并称之为“回代”过程.,下面分别写出“消去”和“回代”两个过程的计算步骤.
消去过程:
第一步: 设a110,取做(消去第i个方程组的x1)
mi1第一个方程+第i个方程 i=2,3,…n
则第i个方程变为