文档介绍：迭代法求非线性方程的根
迭代法是求解非线性方程近似根的一种方法,这种方法的关键是确定迭代函数(x),简单迭代法用直接的方法从原方程中隐含的求出x,从而确定迭代函数(x),这种迭代法收敛速度较慢,迭代次数多,因此常用于理论中,Newton迭代法采用另一种迭代格式, 具有较快的收敛速度,由牛顿迭代法可以得到很多其他迭代格式。
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迭代法
一、简单迭代法的概念与结论
二、 Newton迭代法的基本思想
三、牛顿法的几何意义
四、牛顿迭代法的步骤
五、例题
六、其他注意的事项
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一、简单迭代法的概念与结论
简单迭代法又称逐次迭代法,基本思想是构造不动点方程,以求得近似根。即由方程f(x)=0变换为x=(x), 然后建立迭代格式,
当给定处值x0 后, 由迭代格式可求得数列{xk}。如果{xk}收敛于x*,则它就是方程的根。因为:
但迭代格式有多种,迭代格式如何建立才能保证迭代法的数列收敛?有如下定理:
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定理一:假定函数满足下列条件:
1、对任意有
;()
2、存在正数 L<1,使对任意有
()
则迭代过程对于任意初值
均收敛于方程的根,且有如下的误差估计式:
()
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实用中()式常用
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证明:设方程在区间内有根,
则有由
故
据此反复递推有
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故当时迭代值
按()式有(),
据此反复递推得:
于是对任意正整数p有
在上式令,注意到即得式()。证毕。
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定理二:对于迭代过程,如果在所求根
的邻近连续,并且(*)
则该迭代过程在点邻近是P阶收敛的。
证明:由于。据定理一,立即可以断定迭代过程
具有局部收敛性。再将在根处展开,利用条件(*),则有
注意到, 由上式得
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因此对迭代误差有: 。这表明迭代过程
确实为P阶收敛,证毕。
上述定理告诉我们,迭代过程的收敛速度依赖于迭代函数. 如果选取当时,则该迭代过程只能是线性收敛。对于牛顿迭代公式(1),其迭代函数为
由于,假定是f(x)的一个单根,即, 则由上式知。于是依据定理二可以断定,牛顿法在根的邻近是平方收敛的。
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定义一:如果存在的某个邻域,使迭代过程
对于任意初值均收敛,则称迭代过程
在根邻近具有局部收敛性。
定理三:设为方程的根, 在的邻近连续。且则迭代过程在邻近具有局部收敛性。
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证明:由连续函数的性质,存在的某个邻域
,使对于任意成立。此外,对于任意总有。这是因为,依据定义三,可以断定,迭代过程对于任意初值均收敛。证毕。
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