文档介绍：二面角求法之面面观
求解二面角是立体几何中最基本、最重要的题型,也是各地高考中的“热点”问题,虽然对此可说是“千锤百炼”,但我们必须面对新的情境、新的变化,如何以基本方法的“不变”去应对题目中的“万变”就是我们研究的中心话题.
总的来说,求解二面角的大体步骤为:“作、证、求”.其中“作、证”是关键也是难点,“求”依靠的计算,也决不能忽视,否则因小失大,功亏一篑,也是十分遗憾之事.
1 定义法
即在二面角的棱上找一点,“众法之源”,万变不离其宗,“树高千尺,叶落归根”,求二面角的一切方法盖源出定义这个“根”!.
D
B1
图1
A
O
A1
C
B
D1
C1
O1
例1 正方体ABCD-A1B1C1D1中,求二面角A-BD-C1的正切值为.
分析与略解:“小题”不必“大做”,由图1知所求二面角为
二面角C-BD-C1的“补角”.教材中根本就没有“二面角的补角”
这个概念,但通过几何直观又很容易理解其意义,这就叫做直觉
思维,∠COC1
是二面角C-BD-C1的平面角,且tan∠COC1=。
将题目略作变化,二面角A1-BD-C1的余弦值为.
在图1中,∠A1OC1是二面角A1-BD-C1的平面角,设出正方体的棱长,用余弦定理易求得
M
A
F
A1
Q
P
B
C
E
C
B
P
E
F
图2(2)
图2(1)
Q
cos∠A1OC1=
例2(2006年江苏试题)如图2(1),在正三角形ABC
中,E、F、P分别是AB、AC、BC上的点,满足AE:
EB=CF:FA=CP:BP=1:(2),将△AEF折起
到△A1EF的位置,使二面角A1-EF-B成直二面角,连
接A1B、A1P.
(Ⅰ)与(Ⅱ)略;(Ⅲ)求二面角B-A1P-F的余弦值。
分析与略解:在例1中,图形的对称和谐状态对解题产生了很好的启迪作用,,连接EQ,则在正三角形ABC中,很容易证得△BEQ≌△
PEQ≌△PEF≌△AEF,那么在图2(2)中,有A1Q=⊥A1P于M,连接QH、QF,则易得△A1QP≌△A1FP,△QMP≌△FMP,所以∠PMQ=∠PMF=90o,∠QMF为二面角B-A1P-F的平面角,,依次可求得A1P=,QM=FM=,在△QMF中,由余弦定理得cos∠QMF=。
练习:2011广东高考理18.(本小题满分13分)
-ABCD中,ABCD是边长为1的菱形,
且∠DAB=60,,PB=2, E,F分别是BC,PC的中点.
P
AS
BS
CS
DS
F
G
P
AS
BS
CS
DS
F
E
(1) 证明:AD 平面DEF; (2) 求二面角P-AD-B的余弦值.
解:(2) 由(1)知为二面角的平面角,
在中,;在中,;
在中,.
2 三垂线法
这是最典型也是最常用的方法,当然此法仍扎“根”于二面角平面角的定义.
A
图3
P
B
l
此法最基本的一个模型为:如图3,设锐二