文档介绍：第三章线性方程组
§ 消元法
§ 消元法
对一般线性方程组
—(1)
当m=n,且系数行列式
时,我们知方程组(1)有唯一解,
其解由Gramer法则给出。但是若此时D=0,我们无法知道此时方程组是有解,还是无解。同时,当
时,我们也没有解
此方程组(1)的有效方法。因此我们有必要对一般线性方程
组(1)进行研究。
在中学代数中,我们曾用加减消元法和代入消元法来解二元、三元线性方程组。实际上用加减消元法比用行列式解方程组更具有普遍性。下面考虑解线性方程组:
解方程组: 把未知量系数和常数按原顺序写成下表
→
把第1个方程分别乘以(-2)、
(-1)加到第2个、3个方程
把第1行分别乘以(-2)、
(-1)加到第2、3行
→
把第3个方程分别乘以(-4)、
1加到第2个、1个方程
把第3行分别乘以(-4)、
1加到第2、1行
→
把第2个方程与第3个
方程互换位置
把第2行与第3行互换位置
→
分别把第1个方程和第3个
方程乘以
和
分别用
和
乘第1行和第3行
→
把第3个方程分别乘以
(-1)、1加到第1、2个方程
分别把把第3行乘以
(-1)、1加到第1、2行
→
在用消元法解线性方程组时我们实际上是对方程组进行如下三种变换:
用一个数乘某个方程的两边加到另一方程上;
用一个非零数乘一个方程的两边;
互换两个方程的位置。
这三种变换总称为线性方程组的初等变换。
如果把方程组写成“数表”(矩阵)的形式,则解方程组就相当于对“数表”(矩阵)进行以下三种变换:
用一个数乘矩阵的某一行加到另一行上;
用一个非零数乘矩阵的某一行;
互换两行的位置。
这三种变换被称为矩阵的初等行变换。
从上面可以看出,解线性方程组的问题可以转化成对由方程组的未知量系数和常数项所排成的一个“数表”进行相应的“变换”,从而得到方程组的解。这个数表就称为矩阵。抛开具体的背景,下面引进矩阵的定义和它的初等变换。
定义1(矩阵):数域
上
个元素排成形如下数表
称为矩阵的
或
称为数域
上的m行n列
矩阵,简称
阶矩阵,记为
。
元素,i称为元素
所在行的行下标,j称为元素所在列的
当m=n时,
矩阵亦称为方阵。
列下标。
若
,则
称为矩阵A的
行列式,记为
注意行列式与矩阵在形式上与本质上的区别。
定义2(矩阵的初等变换):以下三种变换称为矩阵的初等变换:
用一个数乘矩阵的某一行(列)加到另一行(列)上;
(消法变换)
用一个非零数乘矩阵的某一行(列);(倍法变换)
交换矩阵中某两行(列)的位置。(换法变换)
为了利用矩阵的行初等变换解线性方程组,我们要解决以下问题:一个线性方程组经初等变换后所得线性方程组是否与原方程组同解。
证明:对第(1)种初等变换证明之。
由方程组未知量系数按原来的顺序组成的矩阵,称为方程组的系数矩阵,记为A。由方程组未知量系数和常数组成的矩阵称为方程组的增广矩阵,记为
对方程组进行初等变换,其实质就是对方程组中未知量系数和常数项组成的矩阵
(称为增广矩阵)进行相应的初等变换,
,我们有
: 对线性方程组(1)的增广矩阵
进行行初等
变换化为
,则以
为增广矩阵的线性方程组(2)与(1)同
解。
由前面的讨论知,对一个线性方程组施行初等变换,相当于对它的增广矩阵施行一个对应的行初等变换,那么我们要问:一个矩阵在行初等变换下可以化为怎样的简单形式?
方程组的初等变换把一个线性方程组变为一个
:
与它同解的线性方程组。
: 一个
矩阵A,通过行初等变换及列换法
变换可化为一下阶梯形
这里
。更进一步,通过行初等变换,可化为
所谓阶梯形矩阵是指:从它们的任一行看,从第一个元素起至该行的第一个非零元素止,它们所在位置的下方元素全为零;若该行全为零,则它的下方元素也全为零。
证明:若A=0,则A已成阶梯形,
若
,则A至少有一个元素不为0,不妨设
,
(否则,设
,我们可经行、列变换,使
位于
左上角)。把第一行分别乘以
加到