文档介绍：第四章一元函数微分学的应用
第一节柯西()中值定理与洛必达()法则
思考题:
用洛必达法则求极限时应注意什么?
答:应注意洛必达法则的三个条件必须同时满足.
2. 把柯西中值定理中的“与在闭间区上连续”换成“与在开区间内连续”后,柯西中值定理的结论是否还成立?试举例(只需画出函数图象)说明.
答:不成立.
图像如下:

习作题:
用洛必达法则求下列极限:
(1), (2),
(3), (4).
解:(1) ==2,
(2)==1,
(3) = =1,
(4)== =.
用洛必达法则求下列极限:
(1), (2).
解:(1)== ==1,
(2)= == =.
3. 设,直接用柯西中值定理求极限.
解:, ,

=
= (在0与之间)
==.

第二节拉格朗日中值定理及函数的单调性
思考题:
“在闭区间上连续”换为“在开区间内连续”后,定理是否还成立?试举例(只需画图)说明.
答:不成立.
如下图:
2. 罗尔中值定理是微分中值定理中一个最基本的定理,仔细阅读下面给出的罗尔中值定理的条件与结论,并回答下列问题.
罗尔中值定理:若满足如下3条:
(1)在闭区间上连续;
(2)在开区间上可导;
(3)在区间端点处的函数值相等,即,则在开区间内至少存在一点,使得.
需回答的问题:
(1)罗尔中值定理与拉格朗日中值定理的联系与区别?
答:,拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广.
(2)罗尔中值定理中条件(1)换为“在开区间内连续”,定理的结论还成立吗?画图说明.

答:不成立.
如下图:
(3)不求的导数,说明方程有几个实根,并指出它们所在的区间.
答:方程有3个实根, 分别在区间(1, 2)、(2, 3)、(3, 4)内.
原因:, 据罗尔定理即可得出结果.
3. 举例说明罗尔中值定理与拉格朗日中值定理的条件是充分的而非必要的(可采用画图方式说明).
答:如下图所示.

在处不可导

0

在内不连续
习作题:
讨论函数的单调性.
解:函数的定义域为,
, 令, 得,
用把分成两部分,
当时, 当时,
因此在上单调递增, 在上单调递减.
第三节函数的极值与最值
思考题:
1. 画图说明闭区间上连续函数的极大值与最值之间的关系.
答:图像如下

由图可知, 函数的极值与最值的关系为:的极值为可能为最值,最值在极值点及边界点上的函数值中取得.
2. 可能极值点有哪几种?如何判定可能极值点是否为极值点?
答:对连续函数来说,可能极值点有驻点及函数一阶导数不存在的点(尖点)两种. 利用极值的第一充分条件或第二充分条件判定.
习作题:
1. 求+在闭区间上的极大值与极小值,最大值与最小值.
解:, 令, 得,
, , ,
∴的极大值为4,极小值为.
∵, .
∴比较的大小可知:
最大值为200, 最小值为.
2. 求函数在上的最大值.
解:, 令, 得.
∵, , , 比较可知
在上最大值为.
第四节曲率
思考题:
1. 对圆来说,其半径与其曲率半径相等吗?为什么?
答:相等.
因为:曲率半径.
2. 是否存在负曲率,为什么?
答:不存在.
因为曲率定义为:,故可知曲率为非负的值.
习作题:
求立方抛物线上各点处的曲率, 并求处的曲率半径.
解:, ,
于是曲率=,
当时曲率,
故曲率半径.
2. 曲线上哪一点处曲率最大,求出该点的曲率.
解:, ,
故曲率,
对关于求导, 得
,
令且得.
时, ; 时, ,
曲线上,处曲率最大, 最大曲率为.
第五节函数图形的描绘
思考题:
若为连续曲线弧的拐点,问:
(1)有无可能是的极值,为什么?
答:可能.
如:
为的拐点且为的极值.
(2)是否一定存在?为什么?画图说明.
答:不一定. 如图像如右:
点为曲线的拐点,但不存在.
2. 根据下列条件,画曲线:
(1) 画出一条曲线,使得它的一阶和二阶导数处处为正.
解:如下图.
(2) 画出一条曲线,使得它的二阶导数处处为负,但一阶导数处处为正.
解:如下图.
(3) 画出一条曲线,使得它的二阶导数处处为正,但一阶导数处处为负.
解:如下图.
(4)画出一条曲线,使得它的一阶、二阶导数处处为负.
解:如下图.
习作题:
1. 设水以常速()注入图4—19所示的容器中,请作出水上升的高度关于时间的函数