函数极限.doc

文档介绍：第三章函数极限
§1 函数极限概念
例1 用方法验证:
.
解(1)消去分式分子、分母中当时的零化因子(x-1):
.
(2)把化为,其中为x的分式:
,
其中.
(3)确定的邻域0<|x-1|<,并估计在此邻域内的上界:取,当0<|x-1|<时,可得
≤,
,
于是
.
(4)要使≤,
,
当0<|x-1|<时,.
例2 用方法验证:
.
解
注意到当时,上式可以充分小,但是直接解不等式
,
希望由此得到x<-M,整个过程相当繁复,
,
便可求得,,当x<-M时,
.
例3 证明.
,函数sinx变化的状态,适当选取与(),.
证利用的正面陈述,应当证:,使得.
当此取,取,使得,于是
,
这样就证得.
例4 设.
求在整数点n处的极限与.
分析初学的读者可能对求函数的在某点的左、右极限感的困难,有效的方法是仔细观察函数在该点的左、右邻域内的表达式与变化的状态.
,当时,有
,
于是
=.
同理,设,当时,有
,
于是
=.
例5 证明函数
在任何点处不存在.
证若,要证,≠
,.
若A=0,取,由实数的稠密性,有理数(为何在中取?)
.
若A≠0,取,由实数的稠密性,有理数,
.
于是有不存在.
对于=0的情形,只需考虑右极限.
§2 函数极限的性质
例1 求极限.
分析求极限中的困难是,且其中出现根式,使用的方法是作变换,然后对变量y的分式应用四则运算法则简化后求极限.
解作变换,,,于是
=
.
当时,,有
例2 设,在某邻域内,又证明
. ()
解由,时,
.
又因为,故对上述(不妨取),当时,.由此可得:当时
,
即
.
注称()为复合求极限法,()不仅对型的极限成立,且对于都成立.
例3 求下列极限
解
=
最后等式是应用了复合求极限法.
例4 设a>0,证明
.
分析我们知道数列极限:,下面是用这已知的数列极限求证函数极限.
证设a>1,当n≤x<n+1时()
.
因为,所以.
于是当x>N+1时,[x]+1>x≥[x]>N,则有
,
即证得
.
同理可证当a≤1时结论也成立.
例5 设,证明
.
证设,于是有
,
令,从例4可知,由函数极限的迫敛性,证得
.
§3 函数极限存在的条件
例1 设
试用归结原则证明时,不存在.
证若,取为有理点列,;取为无理点列,.因为
,
,
于是由归结原则可知不存在.
例2 设
若,用柯西准则的否定形式证明不存在. 是否存在?
证需证,,取,取,使为有理数,为无理数,此时
.
由此可知不存在.
因为,所以=0.
例3 设是[a,b]上严格递增函数,又若对,
.
分析因为是[a,b]上的严格递增函数,,因而,那就错了,这是因为并非是[a,b]上的连续函数(第四章),,由此可见数列极限的否定形式的正面陈述在证明题中的重要性.
证用反证法,若,则,,使得
.
由,和的严格递增性,有
.
因为,于是对上式取的极限后,得到
,.
例4 设函数是上单调,则极限存在的充要条件是在上有界.
分析上述结论说明函数单侧极限的单调有界定理的条件不仅是充分而且是必要的,而它的必要性的证明是利用了单侧函数极限的局部有界性.
证[必要性] 若存在,则由函数极限的局部有界性,(不妨设)上是单调函数,于是,≤,由此函数在上有界.
[充分性] 若函数在上有界,因为在上单调,由函数极限的单调有界定理,存在.
例5 :若对任何满足下述条件的数列,,,
, (3,12)
都有,则.
分析由归结原则可知:上述结论不仅是充分的,,即子列只要满足()
.
,则
,,,,,使得;
…………
取,,.
§4 两个重要的极限
例1 求极限.
解作变换,当时,,于是有
==
==.
例2 求极限.
解
==
=
例3 求极限(n为正整数)
解=
作变换,当,于是
==
例4 试求下列极限:
(1); (2); (3);
(4