文档介绍：4、二元函数的极值、最值
10极值定义 P208
为极大值
为极小值
驻点极值点,需判别
设、、
f
< 0
A < 0
极大值
A > 0
极小值
> 0
非极值
=0
不定
求的极值
解: , , ,
,
令
得驻点,
在,
∴非极值
,
∴为极值点
又∴为极小值
例2、求在闭区域D:,,
的最大,最小值。
解: ,
令(在D内)
在D的内部函数只有一个驻点,
在边界, 在,
在,
得: ,即,为驻点
比较, ,
得最大值,最小值
在实际问题中要求最大,最小值往往带有附加条件,即对函数的自变量除了限制在函数的定义域内外,还有其他的附加条件,这些条件由函数的各自变量之间的一些方程来表示。
求原点到曲线的最大距离
此题即在条件下求的最小值问题
20条件极值、拉格朗日乘数法
在实际问题中可根据题意来确定最值而不需判别
求在条件下, 的极值
令称为目标函数,为拉格朗日常数
解得的为可能的极值点
例1、求曲面到平面的最短距离
解法一、曲面上任一点(x,y,z)到平面的距离
∴设
得:

∵驻点唯一∴
解法二、曲面在任一点的切平面法矢量
平面x+y-4z=1的法矢量
当∥时,即
得:,
∵在点处切平面平行已知平面
∴点到平面距离最短,
例2、在曲面位于第一卦限部分上求一点,使该点的切平面与三个坐标面围成的四面体的体积最小。
∵曲面位于第一卦限部分上任一点(x,y,z)处的平面方程为:
即, ∴四面体体积
故令
由
得:
∵驻点唯一
∴为所求点。
例3、在第一象限内,过椭圆曲线上任一点作椭圆的切线,求诸切线与坐标轴所围成的三角形面积的最小值。
解:在第一象限内曲线上任一点(x,y)处的切线方程为:

切线与两坐标轴的截距分别为
若要使S最小,只要最大
故设
由
得:
∵驻点唯一
∴
例4、P212
第六章多元函数的积分
10二重积分
1、定义 P225

2、性质 P226
其中表示平面区域D的面积
, ,表D的面积
3、几何意义
, ,则表示以为顶,以D为底的曲顶柱体体积。
4、二重积分在直角坐标下的计算法
设
用平面截立体得如图<1>所示的曲边梯形
其面积

例1、计算二重积分其中D由曲线直线及轴所围成。
解:首先画出积分区域D
例2、将二重积分化为累次积分,其中D为:
(1) 抛物线及所围成
解: 交点

═
(2) 圆,, 所围
(3),,所围,

例3、计算, 0≤y≤1
1

1
0

例4、P228,,,

例5、,则
1
解:
0

例6、
2

0
例7、交换积分次序

例8、 P231 ,(1),,,
5、二重积分在极坐标下计算方法
例9、计算 D:
解:

例10、 D:由,,,
所围。
解:
例11、 D由,及轴所围。
得交点

例12、P238
例13、证明
证:
又