文档介绍：第六章定积分
第一节定积分的概念
思考题:
1. 如何表述定积分的几何意义?根据定积分的几何意义推出下列积分的值:
(1), (2), (3), (4).
解:若在几何上表示由曲线,直线及轴所围成平面图形的面积. 若时,在几何上表示由曲线,直线及轴所围平面图形面积的负值.
(1)由下图(1)所示,.
2
A
(
2
)
-
1
-
1
1
1
1
A
1
A
(
1
)
1
-
1
3
A
4
A
5
A
2
π
π
(
3
)
1
1
(4)
(2)由上图(2)所示,.
(3)由上图(3)所示,.
(4)由上图(4)所示,.
2. 若当,有,下面两个式子是否均成立,为什么?
(1), (2).
答:由定积分的比较性质知(1)式成立,而不定积分的结果表示一族函数,与不能比较大小,故(2)式不成立.
3. 个数的算术平均值与连续函数在闭区间上的平均值有何区别与联系?
答:二者均反映了多个数的平均值大小,后者是前者的推广,但个数的算术平均值是有限个数的平均值,而连续函数在闭区间上的平均值反映的是无限个数的平均值,前者计算公式是,后者计算公式是.
习作题:
1. 用定积分的定义计算定积分,其中为一定常数.
解:任取分点,把分成个小区间,小区间长度记为=-,在每个小区间上任取一点作乘积的和式:
,
记, 则.
2. 利用定积分的估值公式,估计定积分的值.
解:先求在上的最值,由
, 得或.
比较的大小,知
,
由定积分的估值公式,得,
即.
3. 求函数在闭区间[-1,1]上的平均值.
解:平均值.
4. 利用定积分的定义证明.
证明:令,则,任取分点…,把分成个小区间,并记小区间长度为,在每个小区间上任取一点,作乘积的和式,记, 则.
微积分基本公式
思考题:
1. ?
答:因为是以为自变量的函数,故=0.
2.
答:因为是常数,故.
3. ?
答:因为的结果中不含,故0.
4. ?
答:由变上限定积分求导公式,知.
5. ?
答:.
6. 若,则=?
答:=.
7. 当为积分区间上的分段函数时,问如何计算定积分?试举例说明.
答:分段函数的定积分应采用定积分关于积分区间的分割性质,:若则
=+==.
8. 对于定积分,凑微分法还能用吗?为什么?
答:,而凑微分法所得原函数不须作变量置换.
习作题:
1. 计算下列定积分
(1), (2), (3).
解:(1)=+
===1.
(2)=+
==4+.
(3)=+
==2+2=4.
2. 求极限.
解:此极限是“”型未定型,由洛必达法则,得
==
3. 计算下列各题:
(1), (2), (3), (4),
(5), (6), (7),
(8), (9), (10),
(11), (12), (13).
解:(1)=.
(2)=.
(3).
(4)=.
(5