文档介绍：第五章导数和微分
§1导数的概念
例1 讨论下列函数的可导性
解首先讨论f(x)的可导性。当时,因为
所以不存在时,即在点0处不可导。当时,在点处不
连续,于是在点处也不可导。
然后讨论的可导性。当时,
于是有
即,当时,g(x)在点不连续,于是在点不可导。
例2 设函数定义在[-a,a](a>0)上,且适合∣∣≤x2,证明又因
︱∣≤︱︱
于是
∣∣=0
则(0)=0得证
例3 设函数,定义在[a,b]上,,且,又定义
证明在点可导。
证因为,于是
同理可证
由可得
所以在点可导
例4 设函数在点处可导,过曲线上点处的切线和法线与x轴交于点N和点M,点P在x轴上的投影为点T(见图5-1)证明:
,,
证由导数的几何意义,若过点P的切线与x轴交角为a,则
由,而,于是
由图中可见
,
即
由此得到
=
=
=
=
例5 设平面上一抛物镜的轴截线方程为
若光线沿平行于y轴的方向射向镜面,证明反射光线都通过y轴上点(0,)
证人设点是入射光线与镜面的交点,反射光线与y轴交于点Q。过点P的镜面的切线与y轴交于点R,此切线的斜率为︱xo=2xo,于是直线PR的方程为
,
由此可得点R的y坐标为
按光线反射时满足入射角等于反射角的规律,在图5-2入射角为a,反射角为β,即有a=β,由于ΔPQR的两个底角分别为a,β的余角,因此ΔPQR是等腰三角形。
设点Q为 y坐标为q,在直角ΔPQT中
=
由于,因此
,
由此方程可解得对任何都有
例6 证明:若在点a处可导,f(x)在点a处可导。
分析一般情况下,若在点处可导,在点处不一定可导。例如处可导,但在点0处不可导,反之,若在点处可导,一般也不能推得f(x)在点x0处可导。例如
处可导,但处不连续,因而不可导,然而,若在点a处连续,则由在点a处可导就可保证f(x)在点a处可导。
若,由连续函数局部保号性,,在其中保持定号,因而由在点处可导可推得在点a处也可导。
若,且在点a处可导,因为点a为的极值点,所以应用费马定理可以得到,再由此又可证得。
证若,由连续函数局部保号性,,在中保持定号,于是在点a处可导,即为在点a处可导。
若,则点a函数的极小值点,因在点a处可导,由费马定理有
即
因为,所以
于是
§2 求导法则
例1设
,
求
解由导数的四则运算法则,可得第一加项的导数
=
在第二加项中注意到中间变量又是两个函数式的和,于是
[]
由此得到
=
例2 设
,
求
解由复合函数求导法,求得
=
=
例3 设可得
上述等式两边关于x求导有
于是有
例4求下列函数的导数:
解为了去掉函数扣的绝对值号,把y改写成如下分段函数:
由求导的四则运算法则,先求出处的导数:
再按定义求处的左、右导数,
=0
同理可得,于是这就得到
例5讨论函数
的导数
解当x≠0时
当x=0时
=
=1,
于是f在x=0处不可导
例6 举出符合下述条件的函数
(1)设
因为f(x)在x=n()处不连续,于是f(x)在x=n处不可导;当时,f在x的某个邻域内恒为零,于是函数f在x处可导。
(2)狄利克雷函数D(x)在R上处处不连续,于是处处不可导,由于u =D(x)的值域包含于D(u)与D(x)可以复合。
当x为有理数时,D(x)=1,于是(;当x无理数时,D(x)=0,于是由此,故在R上处处可导,。
§ 3参变量函数的导数·高阶导数
例1 设曲线方程为求
解
于是
例2设阿基米德螺线的方程为,试求
解由公式()
=
=
例3 设函数f(t),,曲线方程为
试求
解
于是
例4证明高阶导数的等式
(1)[](n)=
(2)[](n)=
其中
证先证明等式(2),当n=1时
[]′=
=
=
=
其中,于是n=1时等式成立,应用数学归纳法,若n=k-1时成立,即设
[](k-1)=,
则当=k时,有
=
=
于是证得
[](n)=
同理可证等式(1)
例5 设求
解设,注意到时0,应用莱尼茨公式,有
+
=
=
例6设函数f(x)当时有定义,且二次可导,试选择常数使得函数
是二次可导函数
分析函数在区间的端点二阶可导是指点处的左二阶导数存在。在本题中
是二次可导函数,主要任务是确定常数使得在点二阶导数存在,第一步由连续性条件,确定常数;第二步由存在定出常数,最后由在二阶可导可以定出常数。
解由题设条件,存在首先由F(x)在点的连续性条件,要求:
可得
为了使在点可导,必须有易见,而
=m,
于是有
由此可得函数F(x)