文档介绍：在上节所讲的Vi+1=Vi+Wi中 V就是尺度空间,即我们观察事物所采用的尺度,也就是分辨率。 W就是细节空间,即不同尺度空间观察事物的差异。并且知道一幅图像=最低分辨率下图像+不同细节空间的细节信息即一幅图像=系数* 尺度基+ 系数* 细节空间基在Harr小波中若一个事物可用如下2个尺度基描述(尺度相同,位移不同) 记为1尺度那么当我们用一个大尺度基描述时(即取平均),就会有一个失真记为0尺度此细节差异就对应描述基如下(补空间基) 正如富里叶变换是将一个周期函数用无穷项正玄或余玄基逼近,小波变换是将一个函数以小波基来逐级逼近。富里叶变换是以ejwt 为核进行积分,小波变换以小波基为核进行积分. 函数W(x) 为母小波,那么通过尺度变换和平移变换,可得到不同小波基记为Wa,b=| a |-1/2 W( (x-b) /a ) 因为我们希望小波级数能无条件收敛,故母小波应满足一些条件 1. 小波函数值的绝对值在整个R上是可积的 L1函数空间即小波函数在无穷大处的值应该趋向于0,保证收敛性 2. 小波函数值的平方值在整个R上是可积的 L2函数空间即小波函数的能量也是一个有限值,否则就将一个有限能量函数变换到无限能量级数上,其级数很难收敛当然母小波和被变换函数还应该满足一些其他条件,以保证反变换存在,否则意义也不大。在实际应用中,我们经常使用离散的2进小波变换。即尺度是2 j , 位移是k Wj,k= 2 j/2 W ( 2 j x- k ) 构造二进小波函数和尺度函数的方法 Vn空间中,设S (x)是一个尺度基,则S (x-k) 对应着不同位移的尺度基,所有这些尺度基构成L2函数空间n尺度下的完备基。 Vn+1空间中,S(2x)是一个尺度基,则S(2x-k) 对应着不同位移的尺度基,所有这些尺度基构成L2空间n+1尺度下的完备基。如上Harr小波图 n+1尺度是比n尺度更精细的空间,而Vn空间属于Vn+1空间,故Vn空间中的基可用Vn+1空间中的基表示即 S (x)= ∑ Pk * S (2x-k) Pk 是系数。对应的有其补空间基 W (x)= ∑ Qk * S (2x-k) Qk 是系数。这就是著名的两尺度差分方程,它说明了Vn空间的基与Wn空间的基可由Vn+1空间的基经过某种方式滤波产生(简单的说就是可由Vn+1空间的基乘以不同系数)。从而我们只需求出系数,就可以由尺度函数生成小波函数。(有些书上,也把Vn称作小波)。此处再次思考一下概念,我们就更明白了多分辨率小波分析用不同尺度观察事物的思想。其对应滤波器图如下通过2个滤波器P, Q 将信号分解,然后