教案例：第一讲 整体与部分.doc

文档介绍：第一讲整体与部分3
姚正安
§ 重极限和路径极限
本节我们考察多元函数的极限,也就是整体极限(重极限)与部分极限(方向极限或路径极限),我们仅讨论二元函数的极限,当然包括全微分和方向导数,以及上、,而对多变量却有无穷多个方向,而趋于某点的路径则更多.
问题海涅定理:存在的充要条件是对任给的点列,,,落在的定义域内且存在.
证明:本问题的证明与问题的证明完全类似,证明留给读者.
在多就是函数中,.
问题重极限存在,则任两条路径极限存在且相等.
分析: 所谓的路径极限即是某曲线落在的定义域中,且此曲线过点,当,取时的极限.
证明:设
,则对任给的,存在,当且落在的定义域中时,有.
由路径过点,且,,从而当时,有
,
于是有.
方向极限当然是一种路径极限,从而当重极限存在时,
落在定义域的方向极限一定存在,反之不一定正确,。下面我们来介绍一种常规的扰动技巧。
(1) 证明当时,函数的方向极限存在但重极限不存在;
(2)不存在,但沿任意方向,方向极限为0。
【证明】(1)设通过原点的方向为,则方向极限为
,
我们看到不在定义域内,但如某点无限靠近,则可充分大,我们用扰动方法,取则
不存在。
,知不存在。
(2)取,则
。
取,则
。
,但对任给的方向,方向极限为:
(i),则,从而此方向极限为0。
(ii),则方向极限为
。
注意:(2)可知,二元函数与一元函数的极限已有区别,在一元函数中,两个方向极限(左、右极限)存在且相等,则极限存在,但这里则不然,即使对任给的方向极限存在且相等,但重极限任可能不存在。
设的定义域是连通的(即任给定义域中两点,可用一折线连结),则
的充要条件是沿任何连续曲线趋于时,趋于。
【证明】,下证充分性。任取,由连续性依次连接点列的相邻各点即得一连续曲线,那么则沿此连续曲线趋于时,趋于。因为任意趋于的点列,根据海涅(Heine)定理,。
其实,从证明中我们看到,如果的定义域为有限个连通分支,,只是我们把落在各连通分支的点分别做一连续曲线,然后可证得相应结论,现在我们可以弄清单变量函数与多变量函数的本质区别,对单变量而言,通过点的连续路径总摆脱不了左、右方向趋于,而对多变量区域而言,一连续路径可能根本不沿任何方向,而是绕“曲线”趋于,如,所以方向极限非本质极限,这也反映了单变量函数部分极限的简单性和多边量函数部分极限的复杂性。同样对单变量函数和多变量函数的微分学而言,由定义域简繁导致了本质的区别,在单变量微分学中,可导必可微,对于多变量微分学,甚至即使所有的方向导数存在也未必可微。
二元函数在点可微,必存在所有方向的方向导数,而且相反方向的方向导数互为相反数。
【分析】先弄清可微与方向导数的概念。令,所谓的可微即是存在常数A、B使得
这里,。
而沿方向的方向导数为