概率论与数理统计CHAPTER (3).ppt

文档介绍：第3章数字特征



例检验两批灯泡的质量,从中分别随机抽样5只,
测得使用寿命(单位:小时)如下:
A: 2000 1500 1000 500 1000;
B: 1500 1500 1000 1000 1000;
试比较这两批灯泡质量的好坏.
计算得: 平均寿命分别为:A:1200, B:1200,
观察得: A中使用寿命偏离较大,B中使用寿命偏离较小,
所以,B产品质量较好.
数学期望
方差

,若在商场内搞活动,可获经济效益3万元;在商场外搞活动,不遇到雨天可获经济效益12万元,,其概率分布为
P(X=12)=,P(X=-5)=
商场外搞促销活动的平均经济效益为
12×-5×=
平均效益的计算方法就是离散型随机变量数学期望的计算方法.
1. 数学期望
定义设离散型随机变量X的概率分布为P(X=xn)=pn,n=1,2,...,
若级数绝对收敛,则称该级数为X的数学期望,记为
EX=
若
非绝对收敛,即级数
发散,
则称X的数学期望不存在.
例如
X -1 0 1 2
P
则
EX=
=-1×+0×+1×+2×=
注意数学期望反映了随机变量取值的平均值,它是一种加权平均.
(1) 离散型随机变量的数学期望
计算可得
若X服从参数为p的0-1分布,则EX=p;
若X~B(n,p),则EX=np;
若X服从参数为λ的泊松分布,则EX= λ.
某种产品的每件表面上的疵点数服从泊松
分布,,价值10元;疵点数大于1个不多于4个为二等品,价值8元;疵点数超过4个为废品,求(1)产品废品率;(2)产品价值的平均值.
解(1) 设X表示每件产品上的疵点数,则X服从λ=,EX=,产品的废品率为
(2) 设产品的价值为随机变量Y,则Y的概率分布为
Y 10 8 0
P P(X≤1) P(1<X≤4) P(X>4)
EY=10×P(X≤1)+8×P(1<X≤4)+0×P(X>4)
=
某电子元件使用寿命X~
使用寿命在500小时以下为废品,产值0元;500到1000小时之间为次品,产值10元;1000到1500小时之间为二等品,产值30元;1500小时以上为一等品,产值为40元,求产品的平均产值.
解设Y表示产值,Y取值为0,10,30,40,
P(Y=0)=
P(X<500)
=1-e-
P(Y=10)=
P(500≤X<1000)
=e--e-1
类似可得:
P(Y=30)=e-1-e- , P(Y=40)=e-
EY=0× (1-e-)+10 × (e--e-1 )+30×( e-1-e- )+40× e-
=(元)
定义设X是连续型随机变量,X~f(x),若
绝对收敛,则称该积分为X的数学期望,记为:
EX=
若X服从[a,b]区间上的均匀分布,求EX.
所以
EX=
解
否则称X的数学期望不存在.
(2) 连续型随机变量的数学期望
设随机变量X服从参数为λ的指数分布,求EX.
解 X的概率密度函数为
所以,
EX=
类似计算可得: 若X~N(μ,σ2), 则EX= μ.
设随机变量X~f(x),EX=7/12,且
求a与b的值,并求分布函数F(x).
解
解方程组得 a=1,b=1/2
当x<0时,F( x)=0;
当0≤x<1时,
当x≥1时,F(x)=1;
所以