文档介绍：第 20 讲正交投影

教学目的:掌握正交投影算子和正交分解的基本性质。
讲解要点:
1 投影定理以及投影算子的初步性质。
2 投影算子的特征及其运算。
3 空间的正交分解。

定义 1 设 H 是内积空间, E ⊂ H 是线性子空间, x ∈ H . 若存
在分解 x = x1 + x2 ,其中 x1 ∈ E , x2 ⊥ E ,则称 x1 为 x 在 E 上的投影,
记为 PE x = x1 .
定理 1 设 H 是内积空间,E ⊂ H 是线性子空间,x ∈ H ,x1 ∈ E ,
则以下诸条件等价:
(1) PxE = x1 .
(2) x −=xxz1 inf −, (4-2-1)
zE∈
2
(3)∀∈zE, 实变量函数 f ()λ=−+xx1 λ z在λ= 0 有最小值。
证明(1) ⇒(2) x 有分解 x = xx12+ ,其中 x1 ∈ E , x2 ⊥ E ,
则∀∈zE, x1−∈zE, x21⊥ xz−,于是
2222 2 2
x −=−+zxzx12= x12−+zx≥ x2 = x − x1
注意到 x1 ∈ E ,故 x −=xxz1 inf −。
zE∈
(2) ⇒(3) 注意 f (λ) 是λ的连续函数并且 x1 −λz ∈ E , f (λ) 在
λ= 0 的最小性即(4-2-1).
1
(3) ⇒(1) ∀z ∈ E ,取λ为实变量,则
22
f (λ) − f (0) x −+xzλ−− xx
f ′(0) = lim = lim 11
λ→0 λλ→0 λ
2
= lim (x −+−+xz11 , ) ( zxx , ) λ z
λ→0 ( )
= 2 Re (,)x − xz1 . (4-2-2)
f (λ) 在λ= 0 是可微的. 由于λ= 0 是最小值点,故 Re (,)x − xz1 =0.
同样地,将 z 换为 iz 得出 Im (,)x − xz1 =0,从而(,)x − xz1 =0. z ∈ E 是
任意的,最后得出 x −⊥xE1 . 故 PxE = x1 。
定理 2(投影定理) 设 H 是 Hilbert 空间, E ⊂ H 为是线性子空
间,则∀∈x H , PxE 存在且唯一。
证明若 x ∈ E ,则 PxE = x .若 x ∉ E , 取 xn ∈ E 使得 yx− n
→ρ(,yE )= d,由于
22
xmn−=−−− x()() xx n xx m
2
22x + x
= 2(xx−+− xx ) -4 x − nm
nm 2
2 2 2
≤ 2( y − xn + y − xm ) -4 d → 0 ,
{xn }是 Cauchy 序列。不妨设 xn → x0 , E 闭,所以 x0 ∈ E . 现在
x −=xxxd0 lim −==n inf x − z ,
n→∞ zE∈
由定理 1, PxE = x0 。
由于 Hilbert 空间是严格凸的, x0 是唯一的最佳逼近元。
其实为了得到最佳逼近元,定理 2 中的集合 E 可以是任一闭凸子
集,x0 的存在唯一性结论及其证明都不改变。定理 2 和定理 1 还说明
空间一点到闭子空间(闭凸集)的投影,恰恰是这一点关于闭子空间
2
(闭凸集)的最佳逼近元。不仅如此,在 Hilbert 空间上我们还可以定
量地计算出一点到最佳逼近元的距离。
例 1 设 H 是 Hilbert 空间, E ⊂ H 是线性子空间, dim E = n ,
n
是的一组规范正交基,则, 并且
e1 ,
,en E ∀x ∈ H PE x = ∑(x,ei )ei
i=1
∞
2212
dxE(, )= ((,)).xxe−∑ i (4-2-3)
i=1
∞
若是中的规范正交集, ,则并且
{en } H E = span{en } PxEii= ∑(, xe ) e
i=1
∞
2212
dxE(, )=−( x∑(, xei )) . (4-2-4)
i=1
n
实际上,令, ,则,
x1 = ∑(x,ei )ei x2 = x − x1 x1 ∈ E , ∀∈z E
i=1
n
实际计算得到
zzee= ∑(,ii ) ,
i=1
(xz21 ,)=−( x xz ,) = (,) xz −( xz 1 ,) = 0
n
故,从而由投影定理
x2