文档介绍：矩阵理论-第二讲
兰州大学信息科学与工程学院
2004年
回顾与复习
矩阵理论的应用背景;
矩阵、数域、映射、直积集、代数运算、集合对运算封闭、矩阵运算、负矩阵、零矩阵、方阵、对角阵、单位阵、转置矩阵、分块矩阵、分块矩阵的相等、伴随矩阵(adjoint matrix, NOT adjacent matrix)、逆矩阵、逆的性质、矩阵的秩、秩的性质等
矩阵运算:矩阵加法、矩阵减法、数乘矩阵、矩阵乘法、方阵的幂
线性空间:
非空集
定义了加法,满足4条有关加法的规律(加法交换群) ;
定义了数乘,满足4条有关数乘的规律;
回顾与复习(Continue)
线性映射(线性算子、线性变换)
同一数域上的线性空间到线性空间的映射
线性泛函
线性空间到数域的映射
线性子空间
非空子集、加法与数乘的定义与原空间相同
子空间的维数不超过其全空间的维数
子空间的维数= 生成元(列向量)构成的矩阵(向量组)的秩
回顾与复习(Continue)
单独一个就已经线性相关了,所以规定零子空间的维数为0,并且规定它的基为空集
X是线性子空间, ,集合是子空间,当时,是由x生成的一维子空间
Y
X
Z
b
a
c
回顾与复习(Continue)
Y
X
Z
不相关
回顾与复习(Continue)
线性方程组解的结构
齐次
非齐次
回顾与复习(Continue)
方阵的特征值与特征向量
特征矩阵
回顾与复习(Continue)
特征多项式
特征方程
特征值与特征向量(Continue)
特征值的代数重数
若是的k重特征值,则称λ的代数重数为k
特征值的几何重数
的解空间称为A的属于特征值λ的特征子空间,记为。特征子空间的维数
称为A的特征值λ的几何重数
特征值的几何重数不超过它的代数重数:
若是的k重特征值,则
特征值与特征向量(Continue)
矩阵的多项式
设 f(λ) 是λ的多项式
:运算结果是一个数
对,定义
为矩阵A的多项式
:运算结果是一个上的矩阵
矩阵的多项式的特征值和特征向量
若是的特征值, 是A的属于λ的特征向量,那么x也是的属于特征值的特征向量:
(对A的任一特征值λ)