文档介绍：矩阵理论-第七讲
兰州大学信息科学与工程学院
2004年
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上节内容回顾
酉矩阵
n个列向量是一个标准正交基
酉相似下的标准形
Schur定理:任一复数方阵均可酉相似于上三角矩阵
正规矩阵
用酉矩阵化正规矩阵为对角形
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Hermite矩阵的正定性
Hermite矩阵正定性的定义
设,且,即A是Hermite矩阵。如果对任意

都有

则称A是Hermite正定矩阵(半正定矩阵)
定理
设A是Hermite矩阵,则下列条件等价
A是Hermite正定矩阵(半正定矩阵);
A的特征值全为正实数(非负实数);
,使得
证明: (1) (2):由上一讲的推论1,Hermite矩阵的特征值均为实数
现证其为正。A是正规矩阵, , 即存在酉矩阵U
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Hermite矩阵的正定性
使得
上式右边同乘以列向量:

左边同乘以行向量,可得
令,若,则,由于A是Hermite正定阵
假设,取
第i个分量
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Hermite矩阵的正定性
则x的第i个分量亦不为零,但
与A是Hermite正定矩阵矛盾,所以假设不成立。即A的特征值全为正实数
(2) (3):由
可得:
令即证
(3) (1):因为,所以对任意, 由内积的正定性
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Hermite矩阵的正定性
推论
Hermite正定矩阵的行列式大于零
由易知
定理
设,则
和的特征值全为非负实数;
与的非零特征值相同;

证明:
1. 是Hermite矩阵,对任意
半正定的特征值全为非负实数
同理取行向量,可得
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Hermite矩阵的正定性
2. 设x是的属于其非零特征值的特征向量,即
,且
否则,
同理可证的非零特征值也是的特征值(只要设)
3. 由
反之
由内积的正定性
与同解,解空间的维数相同:

上式中以代替
n: A的列数
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Hermite矩阵的正定性
设是Hermite矩阵
分别称为A的k阶顺序主子阵和顺序主子式,则
证明:
必要性
A是Hermite矩阵都是Hermite矩阵
令,其中
A是Hermite正定矩阵
第i个分量
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Hermite矩阵的正定性
对任意
都是正定阵
Hermite正定矩阵的行列式大于零
充分性
设,对阶数n用数学归纳法证明A是Hermite正定矩阵。
当k = 1时, 是Hermite正定矩阵
设k = n – 1时,由是Hermite正定矩阵
当k = n 时,记F为如下的下三角矩阵:
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Hermite矩阵的正定性
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