文档介绍：第 12 讲 Hahn-Banach 延拓定理
教学目的
掌握线性泛函延拓定理的证明思想及其推论。
授课要点
1、实空间线性泛函的控制延拓定理。
2、复空间线性泛函的控制延拓定理。
3、保范延拓定理。
4、延拓定理的推论及其意义。
对于一个线性赋范空间来说,对它上面的线性泛函知道得越多,
对这个空间本身就了解得越多(参见第 9 讲思考题 1). 有时候为了
某种目的,要求有满足一定条件的线性泛函存在,Hahn-Banach 定理
为这样的线性泛函的存在提供了保证.
定义 1 设 DT()与 DT( 1 ) 分别是算子T 与 T1 的定义域,若
DT()⊂ DT( 1 ) ,并且Tx1 = Tx, ∀∈x DT( ) ,则称算子T1 是 T 的延拓.
定义 2 线性空间 X 上的实泛函 p( x) 称为是次可加的,若
p()xy+≤ pxpy( ) +( ) , ∀x, yX∈
称为是正齐性的,若
p()ααxpx= ( ) , ∀x ∈ X , α≥ 0 .
显然线性空间上的每个半范数都是次可加正齐性泛函.
定理 1(Hahn-Banach) 设 X 是实线性空间,p : XR→是 X
上的正齐性次可加泛函, M ⊂ X 是线性子空间,则
(1)对于 M 上定义的每个线性泛函 f0 ,存在 f0 从 M 到 X 的延
1
拓 f : X → R ,
f ()xfx= 0 ( ) , ∀x ∈ M
(2)若 f0 ()xpx≤(), ∀x ∈ M ,可选取 f 满足
f ()xpx≤( ) , ∀x ∈ X (1)
证明 1 设 M ≠ X ,取 x0 ∈ XM\ ,记 M ' = span{x0 , M} ,则
∀∈x′′M , x′=+xtx0 ,其中 x ∈ M , tR∈. 此分解式是唯一的,否
则另有 x′= xtx110+ , x1 ∈ M ,则 x −=−−xttx110( ) ,若 tt≠ 1 ,则
x − x1
x0 = ∈ M ,与 x0 的取法矛盾,于是 tt= 1 ,并且 x = x1 .
tt− 1
对于任何常数 c ,令
f ()xfxtc′=+0 ( ) , ∀x′=+xtx0 .
则容易验证 f 是 M ′上的线性泛函. 实际上 f 是 f0 从 M 到 M ′的延
拓,因为当 x′∈ M 时, t = 0 ,从而 f ( xfx′) = 0 ( ) .
2 我们将证明当∀∈x M , f0 ( xpx) ≤( ) 时,适当选择 c ,可使
f ()xpx′′≤( ) , ∀∈x′′M .
实际上∀∈x, yM,由于
f00()xfyfxypxy+=+≤+ () 0( ) ( )
≤−++p( xx00) pxy( ) ,
即
f0000()xpxxpxyfy−−≤+−( ) ( ) ( ) ,
故存在 c 满足
sup f00()xpxx−−≤( ) c
xM∈
≤+−inf p( xyfy00) ( ), ()2
yM∈
2
我们将取这样的 c 作成所要的线性泛函.