文档介绍：第12章数值积分与微分
计算连续函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,是用牛顿莱布尼茨公式,先求出f(x)的原函数F(x),有:。由于寻找被积函数的原函数不容易,且许多被积函数不存在用初等函数表示的原函数,还有很多函数是用表格或图形表示的,无法用求原函数的方法计算积分值,即牛顿莱布尼茨公式计算定积分有很大的局限性。数值积分就是把求积分精确值的问题变成求积分近似值的问题。
一、数值积分与代数精度
定积分可以认为是和式的极限,如下式:
由分割、近似、求和、取极限四步得到,取极限使近似值变为精确值。
用数值方法计算定积分:在积分区间[a,b]内取若干个节点,用f(x)在节点xk(k=0,1,2,…,n)上的函数值f(xk)的某种线性组合来近似它,即:
上式称为数值积分公式,xk为求积节点, Ak为求积系数。
数值积分公式都有一定局限性,并不能适用所有情况,如下二式对f(x)=x时显然不成立,对f(x)=x2时也不成立:
给定求积公式,对于任意不超过m次的代数多项式都准确成立,而至少有一个m+1次代数多项式不成立,则称该求积公式具有m次代数精度。对于具有m次代数精度的求积公式,若f(x)是次数不超过m的代数多项式时,该求积公式一定是精确的。
验证求积公式的代数精度时,可将多项式依次取为f(x)=1(x0), x, x2, x3 , x4 ………等,代入证明公式的左边和右边,观察二边是否相等来进行判断。
例1:考查积分公式具有几次代数精度?
解:令f(x)=1 ,公式左边==2,公式右边=[1+2+1]=2
令f(x)=x ,公式左边==0,公式右边=[-1+2×0+1]=0
令f(x)=x2 ,公式左边==,公式右边=[(-1)2+2×02+12]=1
此求积公式具有一次代数精度。
例2:试确定以下求积公式的代数精度:
解:当f(x)取1,x,x2,…时,计算求积公式何时精确成立,何时不能成立.
(1).f(x)=1,有左边=,
右边=
(2).取f(x)=x,有左边=
右边=
(3).取f(x)=x2,有左边= ,
右边=
(4).取f(x)=x3,有左边=,
右边=
(5).取f(x)=x4,有左边=,
右边=
当m≤3求积公式精确成立,而x4公式不成立,可见该求积公式具有3次代数精度。
例3:试确定求积公式中的参数a0,a1,a2,使该求积公式具有较高代数精度:
解:当f(x)取1,x,x2,…时,求积公式能精确成立,则可列出相应的方程,从而能解出参数。
当f(x)=1时,左边=2,右边=a0+a1+a2 ,故有:
a0+a1+a2=2
当f(x)=x时,左边=0,右边=-a0+a2,故有:
-a0+a2=0
当f(x)=x2时,左边=2/3,右边=a0+a2 ,故有
a0+a2=2/3
解之得: a0=1/3,a1=4/3,a2=1/3
二、等距节点的求积公式(牛顿-科茨公式)
:设函数f(x)在区间[a,b]上连续,将区间[a,b]进行n等分,则有步长h=(b-a)/n,得到n+1个分点(节点)xk=a+kh(k=0,1,2,…,n)。若已知n+1个分点处的函数值f(xk),则可构造f(x)的拉格朗日插值多项式Pn(x)近似于f(x)
故积分式可近似为:
对于求积系数可进一步计算:
由节点等距有:xk=a+kh
令x=a+th,dx=hdt
则:
令下式成立,则称Ck(n)其为科茨系数:
从而有求积公式变为:
上式称为n阶牛顿-科茨公式
(1).归一性
上式中令f(x)=1,则可得证。
(2).对称性,与a,b的大小无关,且
上式中令k为n-k时不变,即得证.
当n=1时,科茨系数为:
此时求积公式为:
例4:试用梯形公式计算下面的定积分(计算结果取5位有效数字)。
解:用梯形公式计算,上式中a=,b=1,代入公式有:
将区间[a,b]进行n等分,则得到n+1个分点xk= x0+kh;在每个子区间[xk, xk+1]上用梯形公式对所有子区间的积分求和有:
例5:将区间[1,9]8等分,试用复化梯形公式求以下积分的近似值,计算过程中保留3位小数。
解:首先应找出步长h,n+1个分点xk ,以及各个分点所对应的f(xk),
可列成下表的形式:
k
0
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
6