第7章 群、环和域.ppt

文档介绍：第7章群、环和域
半群和独异点
群与阿贝尔群
子群
陪集和拉格朗日定理
正规子群
同态和同构
循环群
置换群
环与域
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第7章群、环和域


代数系统<S,*>又称为广群。
设<S,*>是代数系统,*是S上的二元运算,如果*满足结合律,则称代数系统<S,*>为半群。
例如,代数系统<I,+>、R,·、<P(a),∪>、<P(a),∩>、<Nk,+k>和<Nk,×k>都是半群。
半群是一个非空集合和一个定义在其上的可结合二元运算组成的代数系统。设<S,*>是半群,如果运算*又满足交换律,则称半群<S,*>为可换半群。若S为有限集合,则半群<S,*>称为有限半群。
设<S,*>是半群,*是S上的二元运算,BS,如果*在B上是封闭的,则B,*也是半群。
证明:因为*在B上是封闭的,所以*是B上的二元运算。B,*是代数系统。a,b,cB,由于BS,所以a,b,cS,又由于S,*是半群,所以(a*b)*c=a*(b*c),故B,*是半群。
B,*叫做半群S,*的子半群。
例如,因为QR且乘法在有理数集上是封闭的,,Q,·是R,·的子半群,所以Q,·是半群。类似的可以证明N,·、[0,1],·和(0,1),·是半群。
设S,*是半群,S是有限集,则必有aS,使得a*a=a
证明:bS,由*在S上的封闭性知:
b2=b*bS
b3=b2*bS
…
因为S是有限集,所以必有i<j使
bi=bj 令p=j–i,则p=j–i≥1,而j=p+ i
bi=bj=bp+i=bp*bi
于是下式成立:
bq=bp*bq q≥i
因为p=j–i≥1,总可以找到k≥1,使得kp≥i
对于S中的元素bkp,就有
bkp=bp*bkp
=bp*(bp*bkp)
=b2p*bkp
=b2p*(bp*bkp)
=…
=bkp*bkp
令a=bkp,a*a=a
设I+是正整数集合,+是I+上的普通加法,加法在正整数集合I+上封闭且适合结合律。所以I+,+是半群。但因I+是无限集,所以I+中没有幂等元。
【】设R是实数集,定义R上的二元运算*为:
x, yR,x*y=x|y|
其中x|y|为实数x与实数y的绝对值的乘法运算,证明<R,*>是一个半群。
证明:显然,x, yR,则x|y|R,故运算*在R上封闭。
接下来只需验证*满足结合律。x, y, zR,有
(x∗y)∗z=(x∗y)|z|=(x|y|)|z|=x|y||z|
x∗(y∗z)=x|y∗z|=x|y|z||=x|y||z|
所以,(x∗y)∗z=x∗(y∗z),故<R,*>是一个半群。
独异点
设G,*是半群,如果运算*的单位元eG,则称半群G,*为含幺半群或独异点。
若G,*为独异点,且*是可交换的,则称G,*为可换的独异点。
例如,设A是任一集合,P (A)是A的幂集合。集合并运算∪在P (A)上是封闭的,并运算∪的单位元P (A),所以半群<P (A),∪>是独异点;交运算∩在P (A)上也是封闭的,交运算∩的单位元AP (A),所以半群<P (A),∩>也是独异点。显然,并运算∪和交运算∩满足交换律。所以,它们都是可交换独异点。
设G,*是可交换的独异点,H为其所有幂等元的集合,则H,*为独异点。
证明:a,bH,于是a*a=a,b*b=b。由*是可交换的,从而(a*b)*(a*b)=(a*b)*(b*a)=a*(b*b)*a
=a*(b*a)=(a*a)*b=a*b
于是a*bH,即*在H上封闭,显然HG,,H,*是半群。
因e*e=e,故eH。所以H,*为独异点。
设G,*是独异点,则在*的运算表中任何两行两列都不相同。
证明:先证明任何两列不相同。
设运算*的单位元是eG,xG,yG,x≠y
因为e*x=x, e*y=y,所以e*x≠e*y,这说明e所在行的元素是两两互不相同的且都是G的元素。故在*的运算表中任何两列是不相同的,至少e所在行互不相同。
类似地可证任何两行是不相同的。
前面说过,<Nk,+k>和<Nk,×k>是半群。,N4上的模4加法+4有单位元0,N4上的模4乘法×4有