文档介绍：第一单元极限的概念及其运算
第一节极限的概念
一、学习目标
极限是微积分学中的重要概念,,要使我们了解极限、左、右极限和无穷小量的概念. 并且能够利用函数图形和极限定义去求简单函数的极限.
二、内容讲解
研究函数是利用极限的方法来进行;极限是一个变量在变化过程中的变化趋势。
例1 ,古代数学家刘徽用圆内接正四边形、正五边形、正八边形、正十六边形……等的边长近似圆的周长,显然随着边数的增加,正多边形的边长将无限趋近圆的周长.
例2 讨论当时,的变化趋势.
例3 讨论一个定长的棒,每天截去一半,随着天数的增加,棒长的变化趋势.“一尺之棰,日截其半,万世不竭”——庄子•天下
——函数的极限
设函数在点的邻域(点可以除外)内有定义,如果当无限趋于(但)时,无限趋近于某个常数,则称趋于时,以为极限,记为
或;若自变量趋于时,函数没有一个固定的变化趋势,则称函数在处没有极限.
在理解极限定义时要注意两个细节:
(),2.(包括这两种情况)
问题思考:
极限是描述函数的自变量在某个变化过程中函数的变化趋势,同一个函数在自变量不同的变化过程中,变化趋势可能不同,因此,在讨论函数的极限时,必须要知道自变量的变化过程,所以不好回答是多少,但是, ,.
考虑函数,依照极限的定义,,如果讨论是的极限,则函数分别在和时不是同一个表达式,必须分别考虑.
由此引出左右极限的概念:
——左右极限
设函数在点的邻域(点可以除外)内有定义,如果当且x无限于(即x从的左侧趋于,记为)时,函数无限地趋近于常数L,则称当x趋于时,以L为左极限,记作  = L;如果当且x无限趋于(即x从的右侧趋于,记为)时,函数
无限地趋近于常数R,则称当x趋于时,以R为右极限,记作=R。
:
极限存在的充分必要条件是:函数在处的左,
问题思考:设函数, 求
因为y
,
x
由极限存在的充分必要条件知,
由函数的图形也可得到此结论.
——无穷小量和无穷大量
称当时,为无穷小量,简称无穷小.
无穷小量是一个特殊的变量,它与有极限变量的关系是:变量y以为A极限的充分必要条件是:y可以表示成A与一个无穷小量的和,即
无穷小量的有以下性质:
性质1 有限个无穷小量的和是无穷小量;
性质2 有限个无穷小量的乘积是无穷小量;
性质3 有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量.
无穷大量
在某个变化过程中,绝对值无限增大且可以大于任意给定的正实数的变量称为无穷大量.
例如因为,所以,当时,“倒数关系”:
定理:当(或)时,若是无穷小(而),则是无穷大,;反之,若是无穷大,则是无穷小.
三、例题讲解
例1 讨论时, =?
解:求极限时,可以利用极限的概念和直观的了解,,当时,,即=4
例2 讨论函数,当时的极限
o
y
解:此函数在处没有定义,
例3  , 求
解:注意到此函数当x=0的两侧表达式是不同,
在0点处分别求左、右极限.
可见左右极限都存在但不相等;由几何图形易见,由极限的定义知,函数在某点处有极限存在需在该点处的左右端同趋于某个常数,因此此函数在0点处极限不存在.
例4  ,当时,
解: 由图形可知,当时,当时,是无穷小量.
四、课堂练习
练习1 讨论函数当 时的变化趋势.
y
o
x
解:函数的图形是
练习2 设函数, 问为何值时,存在?
解:因为, ,所以.
练习3 当时,下列变量中 ( )是无穷小量.  
A);B);C);D)
解:因为,所以选择D正确.
练习4 设是无穷大量,则是无穷大量.
证明:因为是无穷大量,由“倒数关系”知均为无穷小量,于是有是无穷小量,所以是无穷大量.
五、课后作业
.
:
(1);(2);(3);(4)
:
(1);(2);(3);(4)
:不存在.
,求在是的左、右极限,并说明 在点极限是否存在.
,求,并讨论是否存在.
,并求极限.
(1);(2);
(3);(4)
,下列变量中哪些是无穷小量?
,下列变量中是无穷小量的有:
(1);(2);(3);(4)