第一讲 整体与部分1.doc

文档介绍：第一讲整体与部分1
姚正安
数学分析的概念常常是由局部到整体然后再从整体回到局部(如区间上函数的连续、可微性), 所以在数学分析的证明和计算中常常是将整体问题分成几个局部问题来分别证明和计算, 本讲着重探讨这方面的证明方法.
§ 子序列问题
在数列的收敛与发散中常常用子序列的敛散性来进行讨论, 也就是用部分序列的性质来探讨整体序列的性质.
数列收敛的充要条件是、收敛到同一极限.
【分析】此问题实际上是探讨整体序列与两个部分序列、之间的收敛关系.
【证明】必要性设,则任给,找得到正整数N,当时,,当2n>2N时也有,.
充分性设,则对任给,找得到正整数N1,当n>N1,时,有
①
同时可找到正整数N2,当n>N2时,有
②
从而取N=max{2N1,2N2+1},当n>N时,n为偶数,则满足①,n为奇数,则满足②,即当n>N时,有,亦即.
设且满足:
(1)
(2)
则存在.
【分析】

即是单调上升数列.
又,
由单调下降和,知是非负序列(不然从某项开始,当时,,则).
再由单调下降, 及,从而存在.
,从而由数列极限的运算法则,有,而,,..
注意:一般的教科书上都注明,其实从单调下降和,,且,.
设(n=1,2,…),试证存在,并求其值.
【证明】

.
证明n不存在.
【证明1】(反证) 设n存在,则
(n+2)=n,由此,
亦即,而 sin 1≠0,
所以有 n=.
, 知 2n=n,
但2n=2n •n=0,所以 n=0,
于是,这与矛盾。
【证明2】(反证) 设 n=A,,得
2n=(2n+1)=A,
但因为 sin (2n+1) = cos 1 sin 2n + sin 1 cos 2n,
sin (2n+2) = cos 1 sin (2n+1) + sin 1 cos (2n+1),
则由 sin 1≠0,得 2n=(2n+1)=,
所以 n=。
另外 cos (2n+1)-cos (2n-1)= -2sin 1 sin 2n.
取极限得 2n=0,从而得 n=0=A, 所以
n=,同样和矛盾。
。
数列收敛的充要条件是的任意真子序列收敛。
【分析】这里讨论的部分数列是任给的真子列,这样的子列有无穷多个。
【证明】必要性设,是的任一真子列,则是自然数集中严格单调上升的一个数列,且,对任给的,存在自然数N,当n>N时,有①
由单调趋于无穷,则存在k0,使得从而当k>k0时,nk>N满足①,即
,
由此。
充分性所谓真子列是指下标集N-{nk}是无穷集,则称是的真子列,假定对所有的真子列收敛,下证收敛。
显然,、皆为的真子列,则此二真子列皆收敛,设,,下证A=B。
是的真子列,是的真子列。又必要性之证明有,。取,且k=1,2