文档介绍：平面及其方程
平面和直线是最简单和最基本的空间图形。本节和下节我们将以向量作为工具讨论平面和直线的问题。介绍平面和直线的各种方程及线面关系、线线关系。
确定一个平面可以有多种不同的方式,但在解析几何中最基本的条件是:平面过一定点且与定向量垂直。这主要是为了便于建立平面方程,同时我们将会看到许多其它条件都可转化为此。
先介绍平面的点法式方程
如果一非零向量垂直于一平面,这向量就叫做该平面的法线向量.
法线向量的特征:
垂直于平面内的任一向量.
已知
设平面上的任一点为
必有
一、平面的点法式方程
平面的点法式方程
其中法向量
已知点
若取平面的另一法向量
此时由于
平面方程为
平面上的点都满足上方程,不在平面上的点都不满足上方程,上方程称为平面的方程,平面称为方程的图形.
解
取
所求平面方程为
化简得
一般地
过不共线的三点
的平面的法向量
平面方程为
——三点式方程
取法向量
化简得
所求平面方程为
解
由平面的点法式方程
平面的一般方程
法向量
二、平面的一般方程
平面一般方程的几种特殊情况:
平面通过坐标原点;
平面通过轴;
平面平行于轴;
平面平行于坐标面;
类似地可讨论情形.
类似地可讨论情形.
设平面为
由平面过原点知
所求平面方程为
解
设平面为
将三点坐标代入得
解