文档介绍：有限元基础
刘艳芳
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第二章弹性力学基本方程及平面有限元法
章节目录
弹性力学基本方程
弹性体的基本假设
变形体的描述、变量的定义和表达
几何方程、物理方程、平衡方程
虚位移原理
平面有限元法
平面问题的离散化
单元位移模式
单元应变和应力
单元刚度矩阵
单元等效节点载荷
总刚度矩阵
边界约束条件的处理
计算实例
平面高阶单元
等参数单元
弹性力学基本方程
要求:熟悉用于表示弹性变形体的力学变量和表达方式,掌握弹性力学基本理论和虚位移原理,熟悉虚功方程的推导过程。
弹性体的基本假设
四个基本假定
连续性材料假定:认为物质中没有空隙,因此可以采用连续函数来描述对象。
均匀性材料假定:认为物体内各个位置的物质具有相同特性,因此各个位置的材料的描述是相同的。
各向同性材料假定:认为物体内同一位置的物质在各个方向上具有相同特性,因此,同一位置材料在各个方向上的描述是相同的。
小变形物体假定:假设物体变形远小于物体的几何尺寸,因此在建立方程时,可以忽略高阶小量(二阶以上)。
变形体的描述、变量的定义和表达
变形体(deformed body)
定义:在外力的作用下,若物体内任意两点之间发生相对移动,这样的物体叫做变形体。
分类:
简单形状变形体:杆、梁、柱等;(材料力学和结构力学)
任意形状变形体:(弹性力学)
问题:当一个变形体受到外界的作用时,如何来描述它?
在外部力和约束作用下的变形体
位移的描述
形状改变的描述
力的描述
材料的描述
变形体的描述及所需要的变量
变形体的描述、变量的定义和表达
基本力学变量(在材料确定的情况下)
位移(displacement):描述物体变形后的位置
应变(strain):描述物体的变形程度
应力(stress):描述物体的受力状态
位移
应变
应力
物体变形后的位置
物体的受力状态
物体的材料特性
材料参数
物体的变形程度
变形体的描述及所需要的变量
变形体的描述、变量的定义和表达
为了使得建立的方程具有普遍性和通用性,采用微小体元(representative volume)的分析方法来定义三类基本变量。
x
y
z
(x,y,z)
dx
dy
dz
变形体的描述、变量的定义和表达
基本力学变量的表达
位移(displacement)
{f}=[u v w]T
应变(strain)
正应变
切应变
应力(stress)
正应力
切应力
x
y
z
(x,y,z)
dx
dy
dz
u
v
w
平衡方程、几何方程、物理方程
平衡方程(描述物体的受力状况)
设为单位体积的体力,则应力和体力的平衡微分方程:
平衡方程、几何方程、物理方程
应力边界条件
设为单位面积的面力;l,m,n为物体表面外法线的3个方向余弦,则可推导应力和面力的相互关系: