文档介绍：第三单元导数、微分的概念及四则运算
第一节导数和微分的概念
一、学习目标
本节课主要讨论导数和微分的概念,通过学习应明确导数与微分的定义,了解导数的几何意义和经济意义,会求曲线的切线方程;了解导数、微分与连续之间的关系并熟练背住导数和微分的基本公式.
二、内容讲解
本节的主要内容是导数与微分的概念.
三个引例:边际成本问题;瞬时速率问题;曲线切线问题.
引例1: 边际成本问题
C—总成本,—总产量,
已知(当自变量产生改变量,相应的函数也产生改变量)
,(成本平均变化率)(边际成本)
引例2:瞬时速率问题
路程是时间的函数
当从时,从
(平均速率)
  (在时刻的瞬时速率)
引例3:曲线切线问题
考虑曲线在处的切线斜率.
当时,对应的曲线上和两点间割线的斜率为.
(当时)
 称为切线的斜率.
关于函数,,
考虑极限
——导数
设函数在点的邻域内有定义,当自变量在点处取得改变量时,函数取得相应的改变量:
若当时,两个改变量之比的极限存在,则称函数在点处可导,并称此极限值为在点处的导数,
记为或或或,即=
若极限不存在,则称函数在点处不可导.
在理解导数定义时要注意:导数也是逐点讨论的.
数量意义:变化率
经济意义:边际成本
几何意义:切线的斜率
设,导数两边同乘,得到函数的微分,微分
由导数公式可以得到微分公式
;
;
;
问题思考:设则
证明如下:因为 ,;于是
三、例题讲解
例1,求
思路:先求,再求.
解:因为
所以,
例2 ,求
解: 因为
,所以
导数公式:
求导步骤:1、求;;2、求.
注意:是的导函数,函数在处的导数值
四、课堂练习
练习1 设,且存在,求.
利用已知条件对进行适当的变形,再用导数定义求极限.
.由导数定义,上式极限存在且就是函数在处的导数,即为
练习2 设函数在 处可微,求.
利用已知条件,,可导一定连续,,所以
五、课后作业
,求下列函数的导数:
(1);(2)
:
(1);(2);(3);(4)
:
(1);(2);(3);(4)
(1,0)点处的切线方程.
,使得该点处的切线平行于直线
1.(1);(2);
2.(1)27;(2);(3)ln2;(4)。
3.(1)0;  (2); (3);  (4).
4. ;5.
第二节导数的四则运算法则
一、学习目标
通过本课程的学习,我们要熟练掌握导数的四则运算法则,并且能够熟练运用四则运算法则计算函数的导数与微分.
设在点处可导,则在点处可导亦可导,且,(为常数)
求证导数的加法法则 
证:设,则,;
由已知条件,均可导.
设在点处可导,则在点处可导亦可导,且,
设在点处可导,则在点处可导亦可导,且
()
问题思考:设在点处可导且,则
.解:由导数的除法法则
三、例题讲解
例1 设函数,求
分析:现在分别知道幂函数和常数函数的导数公式,利用上述法则可求它们组合后函数的导数.
解:(利用加法法则)
= (利用导数公式)
例2 设,求.
解:
(提示)
例3  设,求.
解:(提示)
例4 ,
解:因为(由对数的性质:)
所以(其中常数的导数为0)
例5  设,求
解:利用导数的乘法法则,(利用导数公式)
例6 ,求.
解:<方法1> 由导数基本公式
<方法2> 利用导数的乘法法则
说明无论用哪种方法其结果是唯一的.
例7 ,求.
 解:<方法1> 将函数看成,利用乘法法则求导.
<方法2> 利用导数的除法法则求导
,其中两个结果是完全一样的.
例8 求
解:
(利用三角公式)同理可求.
四、课堂练习
练习1 设,求
练习2 设,求.
练习3 设,求. 求下列函数的导数或微分:
五、课后作业
1.,求;2.,求;3.    求;4.,求;5.,求;6.,求;
7.,求;8.,求;9.,求;
10.,求.
1.;2.;3.;4.;5.;