文档介绍：求数列通项公式的十一种方法(方法全,例子全,归纳细)
总述::
累加法、
累乘法、
待定系数法、
阶差法(逐差法)、
迭代法、
对数变换法、
倒数变换法、
换元法(目的是去递推关系式中出现的根号)、
数学归纳法、
不动点法(递推式是一个数列通项的分式表达式)、
特征根法
二。四种基本数列:等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、等比数列的求通项公式的方法是:累加和累乘,这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。
:把所求数列通过变形,代换转化为等差数列或等比数列。
:累加法和累乘法。
,其定义域是自然数集的一个函数。
一、累加法
: ----------这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。
,
则
两边分别相加得
例1 已知数列满足,求数列的通项公式。
解:由得则
所以数列的通项公式为。
例2 已知数列满足,求数列的通项公式。
解法一:由得则
所以
解法二:两边除以,得,
则,故
因此,
则
评注:已知,,其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数,求通项.
①若f(n)是关于n的一次函数,累加后可转化为等差数列求和;
②若f(n)是关于n的二次函数,累加后可分组求和;
③若f(n)是关于n的指数函数,累加后可转化为等比数列求和;
④若f(n)是关于n的分式函数,累加后可裂项求和。
, 且,求数列的通项公式.
解:由已知得,
化简有,由类型(1)有,
又得,所以,又,,
则
此题也可以用数学归纳法来求解.
二、累乘法
1.○。------------
适用于: ----------这是广义的等比数列
累乘法是最基本的二个方法之二。
,则
两边分别相乘得,
例4 已知数列满足,求数列的通项公式。
解:因为,所以,则,故
所以数列的通项公式为
,且(=1,2, 3,…),则它的通项公式是=________.
解:已知等式可化为:
()(n+1), 即
时,
==.
评注:本题是关于和的二次齐次式,可以通过因式分解(一般情况时用求根公式)得到与的更为明显的关系式,从而求出.
,求数列{an}的通项公式.
答案:-1.
评注:本题解题的关键是把原来的递推关系式转化为
若令,则问题进一步转化为形式,进而应用累乘法求出数列的通项公式.
三、待定系数法适用于
基本思路是转化为等差数列或等比数列,而数列的本质是一个函数,其定义域是自然数集的一个函数。
,其中)型
(1)若c=1时,数列{}为等差数列;
(2)若d=0时,数列{}为等比数列;
(3)若时,数列{}为线性递推数列,其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.
待定系数法:设,
得,与题设比较系数得
,所以所以有:
因此数列构成以为首项,以c为公比的等比数列,
所以即:.
规律:将递推关系化为,构造成公比为c的等比数列
从而求得通项公式
逐项相减法(阶差法):有时我们从递推关系中把n换成n-1有,两式相减有从而化为公比为c的等比数列,进而求得通项公式. ,再利用类型(1).
例6已知数列中,,求数列的通项公式。
解法一:
又是首项为2,公比为2的等比数列
,即
解法二:
两式相减得,故数列是首项为2,公比为2的等比数列,再用累加法的……
,求通项。
答案:
: (其中q是常数,且n0,1)
①若p=1时,即:,累加即可.
②若时,即:,
求通项方法有以下三种方向:i.
即: ,令,则,然后类型1,累加求通项.
. 目的是把所求数列构造成等差数列。
即: ,
令,,
:目的是把所求数列构造成等差数列
,求出,转化为等比数列求通项.
注意:应用待定系数法时,要求pq,否则待定系数法会失效。
例7已知数列满足,求数列的通项公式。
解法一(待定系数法):设,比较系数得,
则数列是首项为,公比为2的等比数列,
所以,即