第六章随机过程.pdf

文档介绍：第六章二阶矩过程与随机分析初步

二阶矩过程

定义 :若随机过程 X (t),t ∈T 有 E X (t) 2 < ∞,则称 X (t) 为二阶矩过程。
以 L2 记所有二阶绝对矩有限的随机变量全体。由 Schwarz 不等式: X ,Y ∈ L2 ,
2
()E XY ≤ E X 2 E Y 2 ,对于二阶矩过程其均值函数µ(t) = EX (t) ,协方差函数
______________ ______
Γ(s,t) = E()X (s) −µ(s) (X (t) −µ(t)),相关函数 R(s,t) = EX (s) X (t) 总是存在的。

若把几乎处处相等的两个随机变量看成一个等价类,即若 P(X ≠ Y) = 0 ,则
称 X = Y ,L2 首先是一个线性空间,定义∀X ,Y ∈ L2 ,(X ,Y ) = EXY ,为 L2 空间
上的内积(⋅,⋅) ,由此内积还可以诱导出 L2 上的一个范数⋅, ∀X ∈ L2 ,
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2 2 2
X = (X , X ) = (E X )。从而∀X ,Y ∈ L2 ,d(X ,Y ) = X − Y 度量了两个随机变
量之间的距离。
定理 : L2 是 Hilbert 空间(完备的内积空间)。

均方收敛、连续、微分和积分

定义 :{}X n ⊂ L2 , X ∈ L2 ,称 X n 均方收敛到 X ,并记为 lim X n = X ,若
n→∞
2
lim E X n − X = 0 。
n→∞
定理 :若 lim X n = X , limYn = Y ,则
n→∞ n→∞
2
2 2
1) lim EX n = EX = E lim X n ,lim E X n = E X = E lim X n ;
n→∞ n→∞ n→∞ n→∞
2) lim EX nYm = EXY 。
n→∞
m→∞

定理 :(均方收敛准则){}X n ⊂ L2 均方收敛⇔ lim EX n X m = α。此外,若 X n
n→∞
m→∞
均方收敛到 X ,则α= E X 2 。
1
定义 :二阶矩过程 X (t),t ∈T 称在 t = t0 处均方连续的若 lim X (t) = X (t0 ) ,
t→t0
2
即 lim E X (t) − X (t0 ) = 0 。若 X (t) 在每一个t 处均方连续,则称随机过程是均方
t→t0
连续的。

定理 :二阶矩过程 X (t),t ∈T 在 t = t0 处均方连续⇔相关函数 R(s,t) 在
(t0 ,t0 ) 处连续。
注意:均方连续并不表明样本轨道连续,例如 Poisson 过程,均方连续但样本轨
道不连续。

定义 :二阶矩过程 X (t),t ∈T 称在 t 处均方可导的,若存在Y(t) ∈ L2 使得
X (t + h) − X (t) X (t + h) − X (t) 2
lim = Y (t) ,即 lim E − Y (t) =