文档介绍：第二讲矩阵的运算
复习: 一、加法。
二、数乘。
三、矩阵与矩阵相乘。
四、转置矩阵
新授:
五、方阵的行列式
定义由n阶方阵的元素所构成的n阶行列式(各元素的位置不变),称为方阵的行列式。记作或(determinant).
注意:方阵与其行列式不同,前者为数表,后者为数值。
运算律:
(1) (行列式性质1)
(2) ()
(3) (证明较繁)
由(3)知,对于n阶方阵A、B,一般,但都有
例1. 设,, 求.
解:(法一) ,。
(法二)
六、几种特殊矩阵

定义,简记为,称为n 阶
对角矩阵。
易知(1).
(2).
(3).
2. 数量矩阵
若n 阶对角矩阵中主对角线上的元素都相等,即
则称为n 阶数量矩阵。当时,就是n阶单位矩阵。
易知(1).
特别地可交换
(2). ,
数量矩阵的加减乘法与数的完全相同。
3. 上(下)三角矩阵
为上三角矩阵,
为下三角矩阵
易知,设A、B为上三角阵,则,,仍为上三角阵;下三角阵也类似。
§3 逆矩阵
概念与性质
在§2中,线性方程组

可表示为矩阵方程
其中,,,
由克莱姆法则知,若,则(1)有唯一解。
如果存在n阶方阵C,使得,则(1)的解可用矩阵乘积表出:
称为矩阵方程(2)的解
定义设为n阶方阵,若存在一个n阶方阵C,使得
,
则称方阵可逆,并称方阵C为的逆矩阵,记作,即
若, 则
性质1. 若存在,则必唯一。
证明: 设B、C都是的逆阵,则有
(唯一)
性质2. 若可逆,则也可逆,且。
证明:可逆,,从而也可逆,
且。
性质3. 若可逆,则可逆,且。
证明:
从而, 于是
性质4. 若同阶方阵、都可逆,则也可逆,
且
证明:

所以AB可逆,且
逆阵存在的条件及逆阵的求法
定义由的行列式
中元素的代数余子式构成的n阶方阵,
记作, 即, 称为的伴随矩阵.
例1. 设, 求
解: 因为,,,
,,,
,,
所以
定理方阵可逆且
证明: A可逆,即有存在,使得,
两边取行列式得
故
由行列式的性质7和Laplace定理知
于是
因为, 故有
从而
推论设为n阶方阵,若存在n阶方阵B,使得,(或), 则.