文档介绍：高等院校非数学类本科数学课程
——一元微积分学
大学数学(一)
第十三讲闭区间上连续函数的性质
脚本编写、教案制作:刘楚中彭亚新邓爱珍刘开宇孟益民
第三章函数的极限与连续性
本章学习要求:
了解函数极限的概念,知道运用“ε-δ”和“ε-X ”语言描
述函数的极限。
理解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则
以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。
理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。
掌握无穷小量的比较,能熟练运用等价无穷小量计算相应的
函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。
理解极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极
限求相应的函数极限。
理解函数在一点连续以及在区间上连续的概念,会判断函数
间断点的类型。了解基本初等函数和初等函数的连续性以及
闭区间上连续函数的性质(介值定理、最值定理)。
理解幂级数的基本概念。掌握幂级数的收敛判别法。
第三章函数的极限与连续性
第九节闭区间上
连续函数的性质

三. 函数的一致连续性
最大值和最小值定理
设 f (x) C ( [a, b] ), 则
(i) f (x) 在[a, b] 上为以下四种单调函数时
a
O
b
x
y
a
O
b
x
y
O
a
b
x
y
O
a
b
x
y
y = f (x) [a, b] ,
y = f (x) [a, b] ,
此时, 函数 f (x) 恰好在[a, b] 的
端点 a 和 b 处取到最大值和最小值.
则
则
(ii) y = f (x) 为一般的连续函数时
x
y
a
a1
a2
a3
a4
a5
a6
b
ma
mb
y = f (x)
O
(最大值和最小值定理)
若 f (x) C ( [a, b] ) , 则它在该闭区间
上, 至少取到它的最大值和最小值各一次.
在定理中, 闭区间的条件是很重要的, 例如, y = x 在(1, 3) 内连续, 但它不能取到它的最大值和最小值.
定理
若 f (x)C( [a, b] ), 则 f (x) 在[a, b] 上有界.
x
y
a
a1
a2
a3
a4
a5
a6
b
ma
mb
y = f (x)
O
看图就知道如何证明了.
推论
f (x) 在[a, b] 上可取到它的最大值 M 和
 f (x)C ( [a, b] )
故 m  f (x)  M , x[a, b],
| f (x) |  M* , x[a, b],
令 M* = max { |m|, | M| }, 则
即 f (x) 在[a, b] 上有界.
最小值 m ,
证

a
x
y
y = f (x)
f (a)
b
f (b)
O
f (x)C ( [a, b] ),
f (a) f (b) < 0,
f ()=0.
先看一个图
描述一下这个现象