文档介绍：Ch 14 偏导数和全微分
计划课时: 1 6 时
P 144 — 185
2005. 06. 06 .

Ch 14 偏导数和全微分( 1 6 时)
§ 1 偏导数和全微分的概念
一、可微性与全微分:
1 .可微性: 由一元函数引入. ο 2 Δ+Δ yx 2 ))()(( 亦可写为αΔ+ βΔyx ,
) , ( , yx ) →ΔΔ( 0 , 0 ) 时(α, β) →( 0 , 0 ) .
2. 全微分:
例 1 考查函数),( = xyyxf 在点( , yx 00 ) 处的可微性.
二、偏导数:
、记法:
:
:
例 2 , 3 , 4 . P143—144 .
例 5 yxf ),( = 2 yxx +++ )12sin()32( . 求偏导数.
例 6 yxf ),( = yxx 2 +++ 1)1ln( . 求偏导数.
+ yx
例 7 yxf ),( = . 求偏导数, 并求 f x ( 2 , −1 ) .
+ yx 22
yx 22 ++ 23
例 8 yxf ),( = 2 xxy −+ ln)2( . 求( 2 , yf ) 和 f ( 2 , 1 ) .
xy 22 ++ 12 y y
2
解 y ( 2 , yf ) = ′( 2 , = ′= 4)2() yyyf ,
f y ( 2 , 1 ) = ′( 2 , yf y=1 = 4) .
23
⎧+ yx 22
⎪, yx ≠+ 0 ,
例9 yxf ),( = ⎨+ yx 22 ,证明函数yxf ),( 在点( 0 , 0 ) 连续, 并求
⎪ 22
⎩0 , yx =+ 0 .
f x ( 0 , 0 ) 和 f y ( 0 , 0 ) .
yx == sin,cos θρθρ 2 3 + 2 θθρρ)sincos(
证 yxf ),(lim ===========lim =
yx →)0,0(),( ρ→0 ρ
= 3 2 θθρρ==+ f )0,0(0)sincos(lim . yxf ),( 在点( 0 , 0 ) 连续.
ρ→0
− fxf )0,0()0,( x3
f x ( 0 , 0 ) = lim = lim = 0 ,
x→0 x x→0 xx ||
− fyf )0,0(),0( y 2
f y ( 0 , 0 ) = lim = lim 不存在.
y→0 y y→0 yy ||
Ex P153—154 1 — 8 .
三、可微条件:
:
Th 1 设( , yx 00 ) 为函数yxf ),( 定义域的内点. yxf ),( 在点( , yx 00 ) 可微,⇒
x ( , yxf 00 ) 和 y ( , yxf 00 ) 存在, 且
df = yxdf ),( = ( , yxf ) Δx + ( , yxf ) Δy . ( 证)
yx 00 ),( 00 x 00 y 00
由于, =Δ=Δ dyydxx , 微分记为
yxdf 00 ),( = x