文档介绍：第三章可测函数
在给定了一个测度空间以后, 由定义在这个空间上的一个函数可以自然地产生出各
种各样的集. 为用测度论的方法研究这个函数,我们自然要求这些集是可测的. 由此产生
, 对被积函数的一个基本要求就是这个函数必须是可
. 特别地, 欧氏空间 R n 上的 Lebesgue 可
测函数是比连续函数更广泛的一类函数. 而且可测函数类对极限运算是封闭的, 这将使我
们在讨论积分的时候更加便利.
本章和讨论可测函数的定义, 可测函数的基本性质和收敛性. 在欧
氏空间 R n 上讨论可测函数与连续函数的联系.
可测函数的基本性质

测度论的方法研究这个函数, 特别是在定义积分时, 必须要求这些集是可测
的.
质.
本节要点可测函数有不同的等价定义. 可测函数是一类很广泛的函数,
并且有很好的运算封闭性. 可测函数可以用特殊的可测函数即简单函数逼近,
这是可测函数的构造性特征, 在研究可测函数, 特别是在积分理论中有重要
应用.
本节和以后若无特别申明, 函数一词均指取值于 R∗的广义实值函数, 取值于 R1
的函数仍称为实值函数. 在我们已给出可测空间的定义. 这里回顾一下. 称二元组
合(X , F ) 为一可测空间, 若 X 是一个非空集, F 是 X 上的σ−代数. 称 F 中的集为
F -可测集或者简称为可测集.
可测函数的定义与等价特征
定义 1 设(X , F ) 为一可测空间, E 是一个可测集. f : E → R∗为定义在 E 上的
函数. 若对任意实数 a, 总有
{x ∈ E : f (x) < a}∈F ,
(图 1 1 是 X = R1 时的示意图) 则称 f 为 E 上的F -可测函数(简称为 E 上的可测函数).
特别地, X 上的可测函数也称为可测空间(X , F ) 上的可测函数. (X , F ) 上的可测函数
73
和非负可测函数的全体分别记为 M ( X , F ) 和 M + ( X , F ).
R1
f (x)
a
1423 142 3 X
E1 E2
{x : f (x) < a} = E1 ∪ E2
图 1 1

注 1 设(X , F ) 为一可测空间, E 是一个可测集. 容易知道
FE = {A : A ⊂ E, A∈F }是一个σ−代数. 因此(E,FE ) 是一个可测空间. 显然 f 是 E
上的可测函数当且仅当 f 是可测空间(E,FE ) 上的可测函数. 因此在讨论一般可测函数
的性质时, 不妨只讨论定义在全空间上的可测函数.
特别地, 若可测空间(X , F ) 取为是 R n 上的 Lebesgue 可测空间(R n , M (R n )) , E
是 R n 中的 Lebesgue 可测集, 则 E 上的可测函数称为 Lebesgue 可测函数. 类似地, 若可测
空间(X , F ) 取为是 R