文档介绍：《概率论与数理统计》
学习手册
·内容提要
·疑难分析
·例题解析
白先春编
目录
第一章随机事件及其概率 2
第二章随机变量及其分布 15
第三章多维随机变量及其分布 29
第四章随机变量的数字特征 41
第五章大数定律和中心极限定理 50
第六章数理统计的基本概念 55
第七章参数估计 61
第八章假设检验 68
第九章方差分析和回归分析 73
第一章随机事件及其概率
内容提要
1、随机试验、样本空间与随机事件
(1)随机试验:具有以下三个特点的试验称为随机试验,记为E.
试验可在相同的条件下重复进行;
每次试验的结果具有多种可能性,但试验之前可确知试验的所有可能结果;
每次试验前不能确定哪一个结果会出现.
(2)样本空间:随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间,记为Ω;试验的每一个可能结果,即Ω中的元素,称为样本点,记为e.
(3)随机事件:在一次试验中可能出现也可能不出现的事件称为随机事件,简称事件,常用A、B、C等大写字母表示;可表述为样本空间中样本点的某个集合,分为复合事件和简单事件,还有必然事件(记为)和不可能事件(记为).
2、事件的关系与运算
(1)包含关系与相等:“事件A发生必导致B发生”,记为或;且.
(2)和事件(并):“事件A与B至少有一个发生”,记为.
(3)积事件(交):“事件A与B同时发生”,记为或.
(4)差事件、对立事件(余事件):“事件A发生而B不发生”,记为A-
B称为A与B的差事件;称为的对立事件;易知:.
(5)互不相容性:;互为对立事件且.
(6)事件的运算法则:
1) 交换律:, ;
2) 结合律:,;
3) 分配律:,;
4) 对偶(De Morgan)律:,,可推广.
3、频率与概率
(1)频率的定义:事件在次重复试验中出现次,则比值称为事件在次重复试验中出现的频率,记为,即.
(2)统计概率:当时,,称为事件的统计概率.
(3)古典概率:若试验的基本事件数为有限个,且每个事件发生的可能性相等,则试验对应古典概型(等可能概型),事件发生的概率为:.
(4)几何概率:若试验基本事件数无限,随机点落在某区域g的概率与区域g的测度(长度、面积、体积等)成正比,而与其位置及形状无关,则试验对应几何概型,
“在区域中随机地取一点落在区域g中”这一事件发生的概率为:.
(5)概率的公理化定义:设()为可测空间,在事件域上定义一个实值函数,满足:1) 非负性:,对任意;2) 规范性:;3) 可列可加性:若有一列,使得,则称为域上的概率测度,简称“概率”.
4、概率的基本性质
(1)不可能事件概率零:=0.
(2)有限可加性:设是n个两两互不相容的事件,即=,(),则有=+.
(3)单调不减性:若事件BA,则P(B)P(A),且
P(B-A)=P(B)-P(A).
(4)互补性:P()=1-P(A),且P(A)1.
(5)加法公式:对任意两事件,有-;此性质可推广到任意n个事件的情形.
(6)可分性:对任意两事件,有.
5、条件概率与乘法公式
(1)条件概率:设是中的两个事件,即,则称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.
(2)乘法公式:设,则称为事件A、B的概率乘法公式.
6、全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式
(1)全概率公式:设是的一个划分,且,,则对任何事件,有,称为全概率公式.
(2)贝叶斯(Bayes)公式:设是的一个划分,且,则对任何事件,有,称为贝叶斯公式或逆概率公式.
7、事件的独立性
(1)两事件的独立:设为一概率空间,事件,且,若,则称事件A与B相互独立;等价于:.
(2)多个事件的独立:设是n个事件,如果对任意的,任意的,具有等式,称n个事件相互独立.
8、贝努里(Bernoulli)概型
(1)只有两个可能结果的试验称为贝努里试验,“成功—失败”试验,“成功”的概率常用表示,其中=“成功”.
(2)把重复独立地进行n次,所得的试验称为n重贝努里试验,记为.
(3)把重复独立地进行可列多次,所得的试验称为可列重贝努里试验,.
(4)中成功次的概率是:其中.
疑难分析
1、必然事件与不可能事件
必然事件是在一定条件下必然发生的事件,,是确定性的现象,但为研究的方便,把它们看作特殊的随机事件.
2、互逆事件与互斥事件
如果两个事件与必有一个事件发生,且至多有一个事件发生,则、为互逆事件;如果两个事件与不能同时发生,则、,互逆必定互斥,