文档介绍：第二章
随机变量
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第二章主要内容
第一节随机变量及其分布函数
第二节离散型随机变量及其分布
第三节连续型随机变量及其分布
第四节随机变量函数的分布
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为了揭示客观存在着的统计规律性,我们将随机试验的结果与实数对应起来,将随机试验的结果数量化,引入随机变量的概念。
例: 考察“抛硬币”这一试验,它有两个可能结果:“出现H”或“出现T”。现在我们将每一个结果用一个实数来代表。如,用数“1”代表“出现H”,用数“0”代表“出现T”。那么我们就可以简单的说成结果是数1或是数0。建立这种数量化的关系,实际上就相当于引入一个变量X,对于试验的两个结果,将X的值分别规定为1或0。这样的变量X随着试验的不同结果而取不同的值。
第一节随机变量及其分布函数
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由于试验结果的出现是随机的,因而函数X(e)的取值也是随机的,我们称X(e)为随机变量。 X(e)所有可能的取值为RX={ 0,1}。 RX 就是X(e)的值域。
X=X(e) =
0, e =T
1, e =H
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如果与试验的样本空间={e}={H,T}联系起来,那么X是定义在样本空间上的函数,即
。
),
(
,
)
(
,
,
随机变量
称之为
上的单值函数
得到一个定义在
这样就
与之对应
有一个实数
中每一个元素
如果
空间为
是随机试验,它的样本
设
e
X
X
e
X
e
E
=
:
对
引入随机变量X以后,就可以用随机变量X描述事件。例如在例题中X取值1 ,写成{ X=1},它表示事件{ H }。一般,对于任意实数集L, X在L上取值,写成{ X∈ L },它表示事件{ e X(e) ∈ L }.
由于随机变量X的取值随试验的结果而定,而试验的各个结果的出现有一定的概率,因而X取各个值也有一定的概率。例如在例题中,P{ X=1}=P{H}=
1
2
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如上所说,随机变量随着试验的结果而取不同的值,因而,在试验之前只知道它可能取值的范围,而不能预知它取什么值。此外,随机变量取各个值有一定的概率,这一性质说明随机变量与普通函数有着本质的差异。
普通函数是定义在数轴上的而随机变量是定义在样本空间上。
本书中,我们一般以大写字母如X,Y,Z,W表示随机变量,而以小写字母如 x,y,z,w 表示实数。
为了研究随机变量的概率规律, 由于随机变量X可能取的值不能一个一个的列举出来,而且,在实际中对于这样的随机变量,例如误差ε、元件的寿命t 等,我们并不会对误差ε= (mm),寿命 t =(小时)的概率感兴趣, 而是考虑误差落在某个区间内的概率,寿命 t 大于某个数的概率。因而我们转去研究随机变量所取的值落在一个区间中的概率: P{ x1< X≤ x2 },
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P{ x1< X≤ x2 } = P{X≤ x2} - P{X≤ x1}
所以我们只需要知道 P{ X≤ x2}和P{ X≤ x1}就可以了.
但由于
}
{
)
(
x
X
P
x
F
≤
=
称为随机变量X 的分布函数。
:设X是一随机变量,x为任意实数,函数
下面引入随机变量的分布函数的概念.
对于任意实数x1 , x2且x1< x2,有
P{ x1< X≤ x2} = P{ X≤ x2 } - P{ X≤ x1 }
= F(x2) - F(x1)
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因此,若已知X的分布函数,我们就知道X 落在任一区间(x1 , x2]上的概率,在这个意义上说,分布函数完整的描述了随机变量的统计规律性。
如果将X看成是数轴上的随机点的坐标,那么,分布函数F(x)在 x 处的函数值就表示X落在区间(- ∞, x ]上的概率。
(
)
是一个单调不减函数;
x
F
)
1
(
对于任意实数x1 , x2 且x1< x2 ,有
F(x2) - F(x1)=P{ x1< X≤ x2} 0
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,有
实数
是右连续的。即对任意
x
(x)
F
)
3
(
当区间端点x 沿数轴无限向左移动(x- )时, “X落在x左边”这一事件趋于不可能事件,故其概率P{ X≤ x } =F(x)趋于0;又若x沿数轴无限向右移动(x+ )时,则“X落在x左边”这一事件趋于必然事件,故其概率P{ X≤ x } =F(x)趋于1。
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且
F
F
(