工程数学第4讲.ppt

文档介绍：工程数学第4讲
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柯西-古萨基本定理如果函数f(z)在单连通域B内处处解析, 则它在B内任何一条封闭曲线C的积分为零:
C
B
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定理中的曲线C可以不是简单曲线.此定理成立的条件之一是曲线C要属于区域B.如果曲线C是B的边界, 函数f(z)在B内与C上解析, 即在闭区域B+C上解析, 甚至f(z)在B内解析, 在闭区域B+C上连续, 则f(z)在边界上的积分仍然有
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§3 基本定理的推广
复合闭路定理
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可将柯西-古萨基本定理推广到多连通域的情况. 设函数f(z)在多连通域D内解析, C为D内的任意一条简单闭曲线, 当C的内部不完全含于D时, 沿C的积分就不一定为零.假设C及C1为D内任意两条(正向为逆时针方向)简单闭曲线, C1在C内部, 而且以C及C1为边界的区域D1全含于D. 作两条不相交的弧线AA'及BB',其中A,B在C上, A'B'在C1上这样构成两条全在D内的简单闭曲线AEBB‘E’A‘AE及AA’F‘B’BFA.
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D
C
C1
A
A'
B
B'
D1
F
E
E'
F'
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将上面两等式相加, 得
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()说明, 如果将C及C1-看成一条复合闭路G, 其正向为:沿C逆时针, 沿C1-顺时针, 则
()说明, 在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分, 不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值, 只要在变形过程中不经过函数f(z)不解析的点. 这一重要事实, 称为
闭路变形原理
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D
变形过程中不能够经过f(z)不解析的点
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定理(复合闭路定理) 设C为多连通域D内的一条简单闭曲线, C1,C2,...,Cn是在C内部的简单闭曲线, 它们互不包含也互不相交, 并且以C, C1, C2, ..., Cn为边界的区域全含于D. 如果f(z)在D内解析, 则
G为由C及Ck(k=1,2,...,n)所组成的复合闭路(C按顺时针, Ck按逆时针
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