文档介绍：工程数学第1讲
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复变函数
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第一章复数与复变函数
§1 复数及代数运算
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1. 复数的概念
在实数范围, 方程
x2=-1
是无解的. 因此引进一个新数i, 称为虚数单位, 并规定
i2 =-1
从而i是方程x2=-1的一个根.
对于任意二实数x,y, 称z=x+iy或z=x+yi为复数, x,y分别称为z的实部和虚部, 记作
x=Re(z), y=Im(z)
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当x=0,y0时, z=iy称为纯虚数; 当y=0时z=x+0i, 将其看作是实数x.两个复数相等, 是指的它的实部和虚部分别相等. 复数z=0, 是指的实部和虚部都是0.2. 复数的代数运算两个复数z1=x1+iy1, z2=x2+iy2的加法, 减法和乘法定义为(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2)+i(y1y2) ()(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2) ()称上面二式右端为z1,z2的和,差与积当z1,z2为实数时, 上二式与实数的运算一致.
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称满足 z2z=z1 (z20)的复数z=x+iy为z1除以z2的商,
复数运算满足交换律,结合律和分配律:
z1+z2=z2+z1, z1z2=z2z1;
z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3), z1(z2z3)=(z1z2)z3;
z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.
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把实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数,与z共轭的复数记作z
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§2 复数的几何表示
1. 复平面由于一个复数z=x+iy由一对有序实数(x,y)碓一确定, 所以对于平面上的直角坐标系, 复数的全体与该平面上的点的全体成一一对应关系, 从而复数z=x+iy可以用该平面上的坐标为(x,y)的点来表示, 这是复数的一个常用表示方法. 此时, x轴称为实轴, y轴称为虚轴, 两轴所在的平面称为复平面或z平面. 这样, 复数与复平面上的点成一一对应, 并且把"点z"作为"数z"的同义词, 从而使我们能借助于几何语言和方法研究复变函数问题.
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在复平面上, 复数z还与从原点指向点z=x+iy的平面向量一一对应, 因此复数z也能用向量OP来表示. 向量的长度称为z的模或绝对值, 记作
O
x
y
x
y
q
P
z=x+iy
|z|=r
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显然, 下列各式成立
O
x
y
x
y
q
P
z=x+iy
|z|=r
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