文档介绍：初中数学竞赛专题选讲()
参数法证平几
一、内容提要
,简称参数.
,可以根据图形性质引入参数,布列方程,通过计算来完成,.
二、例题
例1如图已知:AB是⊙O的直径,C是半圆上的一点,
CD⊥AB于D,⊙N与⊙O内切且与AB、CD分
别切于E,F.
求证:AC=AE.
分析:选取两圆半径为参数,通过半径联系AC,AE的关系.
证明:设⊙O,⊙N半径分别为R和r,连接ON,NE.
根据勾股定理:
OE==, AE=OA+OE=R+;
OD=OE-r=-r, AD=OA+OD=R+-r
根据射影定理AC2=AD×AB=(R+-r)×2R
=2R2+2R-2Rr
=R2+2R+(R2-2Rr)
=(R+)2
∴AC= R+.
∴AC=AE
例2. 已知:△ABC的内切圆I和边AB,BC,CA分别切于D,E,F,
AC×BC=2AD×DB.
求证:∠C=Rt∠.
证明:设AD=x, 则DB=c-x.
代入AC×BC=2AD×DB.
得 ab=2x(c-x).
2x2-2cx+ab=0.
∴x==,
又根据切线长定理得x=,
∴=.
c2-2ab=a2-2ab+b2.
∴ c2=a2+b2 .
∴∠C=Rt∠.
:等边三角形ABC中,P是中位线DE上一点,BP,CP的延长线分别交AC于F,交AB于G.
求证:.
证明:设△ABC边长为a, PD=m, PE=n, BG=x, CF=y.
∵DE是△ABC的中位线, ∴DE∥BC,DE=BC.
∴
(1)+(2):.
∴, ,
∴.
∴.
:如图四边形ABCD中,过点B的直线交AC于M,交CD于N,且
S△ABC∶S△ABD∶S△BCD=1∶3∶4.
求证:M,N平分AC和CD.
证明:设S△ABC=1, 则S△ABD=3, S△BCD=4, S△ACD=3+4-1=6.
设=k (0<k<1).连结AN.
根据高相等的三角形面积的比等于底的比,得
, ∴S△ACN=6k;
, ∴S△AMN=6k×k=6k2;
, ∴S△BCN=4k;
, ∴S△ABM=k; S△BMC=1-k.
∵S△ACN-S△AMN=S△MNC=S△BCN-S△BMC
∴6k-6k2=4k-(1-k) .
6k2-k-1=0.
∴k=;或k=. (k=.不合题意,舍去.)
∴=k=.
∴AM==ND .
即M,N平分AC和CD.
:如图△ABC中,AD是高,AB+DC=AC+BD.
求证:AB=AC.
证明:设AB=c,AC=b, BD=m, DC=n.
根据勾股定理
得
∴c-b=b-c, b=c. 即AB=AC.
例6. 如图已知:一条直线截△ABC三边AB,BC,AC或延长线于D,E,F.
求证: (曼奈拉斯定理)
证明:设∠BDE=α,∠DEB=β,∠F=γ.
根据正弦定理:
在△BDE中,;
在△CEF中,;
在△ADF中,.
∵Sin(180=Sinα.
∴.××.
即.
三、练习
1. 已知