文档介绍：初中数学竞赛专题选讲()
非负数
一、内容提要
非负数的意义:在实数集合里,正数和零称为非负数.
a是非负数,可记作a≥0,读作a大于或等于零,即a不小于零.
初中学过的几种非负数:
⑴实数的绝对值是非负数. 若a是实数,则≥0.
⑵实数的偶数次幂是非负数. 若a是实数,则a2n≥0(n是正整数).
⑶算术平方根是非负数,且被开方数也是非负数.
若是二次根式,则≥0, a≥0.
⑷一元二次方程有实数根时,根的判别式是非负数,反过来也成立.
若二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0) 有两个实数根, 则b2-4ac≥0.
若b2-4ac≥0 (a≠0), 则二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根.
⑸数轴上,原点和它的右边所表示的数是非负数,几何中的距离,图形中的线段、面积、体积的量数也都是非负数.
非负数的性质:
⑴非负数集合里,有一个最小值,它就是零.
例如:a2有最小值0(当a=0时), 也有最小值0(当x=-1时).
⑵如果一个数和它的相反数都是非负数,则这个数就是零.
若a≥0且-a ≥0, 则a=0;
如果a-b≥0且b-a≥0,那么a-b=0.
⑶有限个非负数的和或积仍是非负数.
例如:若a,b,x都是实数数,则a2+b2≥0, ×≥0, a2≥0.
⑷若几个非负数的和等于零,则每一个非负数也都只能是零.
例如若(b+3)2+=0
那么即∴.
二、例题
求证:方程x4+3x2+2x+6=0没有实数根
证明:把方程左边分组配方,得
(x4+2x2+1)+(x2+2x+1)+4=0
即(x2+1)2+(x+1)2=-4
∵(x2+1)2>0,(x+1)2≥0,
∴(x2+1)2+(x+1)2≥0.
但右边是-4.
∴不论x取什么实数值, 等式都不能成立.
∴方程x4+3x2+2x+6=0没有实数根.
a取什么值时,根式有意义?
解:∵二次根式的被开方数(a-2)(与(a-2)(1-都是非负数,
且(a-2)(与(a-2)(1-是互为相反数,
∴(a-2)(=0. (非负数性质2)
∴a-2=0;或=0.
∴a1=2, a2=1, a3=-1.
答:当 a=2或a=1或a=-1时,原二次根式有意义.
要使等式(2-x)2+=0成立,x的值是____.
解:要使原等式成立∵(2-x)2≥0, ∴≤0.
∴==-1,(x-4≠0)
∴(2-x)2=1,且x-4<0.
即解得
∴x=3 .
答:x的值是3.
当a, b取什么实数时,方程x2+2(1+a)x+(3a2+4ab+4b2+2)=0有实数根?
解:∵当△≥0时,方程有实数根.
解如下不等式:
[2(1+a)]2-4(3a2+4ab+4b2+2)≥0
-8a2-16ab-16b2+8a-4≥0,
2a2+4ab+4b2-2a+1≤0,
(a+2b)2+(a-1)2≤0 ①
∵(a+2b)2≥0且(a-1)2≥0,
得(a+2b)2+(a-1)2≥0 ②
∴只有当(a+2b)2=0且(a-1)2=0 不等式①和②才能同时成立.
答:当a=1且b=-时,方程x2+2(1+a)x+(3a2+4ab+4b2+2)=0有实数根.
三、练习