微分中值定理及应用.pdf

文档介绍：第五章微分中值定理及应用
§1 微分中值定理
:(1)方程x3 − 3x + c = 0(c是常数)在区间[0, 1] 内不可能
有两个不同的实根;
(2)方程xn + px + q = 0(n为正整数,p, q为实数)当n为偶数时至多
有两个实根;当n为奇数时至多有三个实根。
(x) = xm(1 − x)n, m, n为正整数,x ∈[0, 1],则存在ξ∈(0, 1),使
m ξ
=
n 1 −ξ
:
(1)| sin x − sin y| 6 |x − y|, x, y ∈(−∞, +∞);
ππ
(2)|x| 6 | tan x|, x ∈(− 2 , 2 ), 等号成立当且仅当x = 0;
(3)ex > 1 + x, x 6= 0;
y−x y y−x
(4) y < ln x < x , ) < x < y;
x
(5) 1+x2 < arctan x < x, x > 0.
,证明
f(a + h) + f(a − h) − 2f(h)
lim = f 00(a).
h→0 h2
lim f 0(x) = a ,求证:任意T > 0 ,有
x→+∞
lim [f(x + T ) − f(x)] = T a
x→+∞
6. 函数f(x)在[a, b]可导,其中a > 0 ,证明:存在ξ∈(a, b) ,使得
2ξ[f(b) − f(a)] = (b2 − a2)f 0(ξ).
1
(x)在(a, +∞) 上可导,且 lim f(x) = lim f(x) = A , 求证:存
x→a+ x→+∞
在ξ(a, +∞) ,使f 0(ξ) = 0 。
(x)可导,求证:f(x) 在两零点之间一定有f(x) + f 0(x) 的零点.
0
(x) 在x0 附近连续,除x0 点外可导,且 lim f (x) = A ,
x→x0
求证:f 0(x) 存在,且f 0(x) = A .
(x) 在(a, b) 可导,且f 0(a) 6= f 0(b) ,k 为介于f 0(a) 和f 0(b) 之间
的任一实数,则至少存在一点ξ∈(a, b) ,使f 0(ξ) = k .
(x) 在(a, b) 内可导,且f 0(x) 单调,证明f 0(x) 在(a, b) 连
续.
(x), g(x) 和h(x) 在[a, b] 连续,在(a, b) 可导,证明存在ξ∈
(a, b) ,使得¯ ¯
¯ ¯
¯ f(a) g(a) h(a) ¯
¯ ¯
¯ ¯
¯ f(b) g(b) h(b) ¯ = 0
¯ ¯
¯ ¯
¯ f 0(ξ) g0(ξ) h0(ξ) ¯
再从这个结果导出拉朗日中值定理和柯西中值定理。
(x) 在(∞, +∞) 连续,且 lim = +∞,证明:f(x) 在(∞, +∞)
x→±∞
上取到它的最小值.
(x) 在[a, b) 连续, lim f(x) = B