文档介绍：数理分析方法第八讲
概率统计基础知识
魏丽******@sfruc.
中国人民大学财政金融学院
确定性现象和随机现象
试验一:一个盒子中有十个完全相同的白球,搅匀
后从中任意摸取一球。
试验二:一个盒子中有十个完全相同的球,但五个
是白色的,另外五个是黑色的,搅匀后从中任意摸
取一球。
随机试验、随机事件和样本空间
•随机试验:
1. 试验可以在相同的情形下重复进行;
2. 试验的所有可能结果是明确可知道的,并且
不止一个;
3. 每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一
个,但在一次试验之前却不能肯定这次试验出现
哪一个结果。
随机试验、随机事件和样本空间
•随机试验的每一个可能的结果称为基本事
件,由多个基本事件组成的事件称为复杂
事件,它们统称为随机事件(简称事件)。
所有可能的结果(基本事件)的全体称为
样本空间。
•必然事件和不可能事件
随机试验、随机事件和样本空间
•事件之间的关系:
1. 包含:如果事件A发生必然导致事件B发生
2. 相等:事件A与B相等
3. 和(并):事件A与B中至少有一个发生
4. 交(积):事件A与B同时发生
5. 差:事件A发生而B不发生
6. 互不相容:事件A与B不能同时发生
7. 对立(逆)事件:A与B只能且必然发生其一
概率和频率
•概率:随机事件A发生可能性大小的度量(数
值),记为P(A)。
•概率可以通过频率来“测量”。
•概率的性质:
1. 非负性:对任意事件A, P(A) ≥0;
2. 规范性: P(Ω) =1;
3. 有限可加性:对有限个(n个)两两不相容的事件,和的
概率等于概率之和。
概率的加法公式
对任意两个事件A、B:
P(A∪B)= P(A) + P(B) - P(AB)
特别当A、B是两个互不相容的事件时,有
P(A∪B)= P(A) + P(B)
条件概率
•例:某个班级有学生40人,其中有党员15人。全班
分成四个小组,第一小组有学生10人,其中党员4
人。如果要在班内任选一人当学生代表,那么这个
代表恰好在第一组的概率为(10/40=1/4)。现在
要在班内任选一个党员当党员代表,则这个代表恰
好在第一小组的概率是(4/15)。
•分析:若计
A={在班内任选一名学生,该学生属于第一小组}
B={在班内任选一名学生,该学生是党员}
可以看到,第一个问题求得的是P(A) ,而在第二
个问题里,是在“已知事件B发生”的附加条件下,
求事件A发生的概率,这个概率称作是在B发生的条
件下,A发生的条件概率,记作P(A|B)。
条件概率的一般定义和概率的乘法公式
•定义:对任意两个事件A、B,若P(B) >0,称
P(A|B)= P(AB)/P(B)
为在已知事件B发生的条件下,事件A发生的条件
概率。
•乘法公式:对任意两个事件A、B,若P(B) >0,
则有
P(AB)= P(B) P(A|B)
条件概率
•条件概率的基本性质:
–非负性:对任意事件A, P(A|B) ≥0;
–规范性: P(Ω|B) =1;
–有限可加性:对任意有限个两两互不相容的事件Ai,
i=1,2,…,n,和的条件概率等于条件概率之和。
•例:一个家庭中有两个小孩,已知其中一个是女
孩,问这时另一个小孩也是女孩的概率为多大?
(假定一个小孩是男还是女是等可能的。)