文档介绍：矩阵的秩线性方程组可解的判别法
教学目的:
能熟练地用初等变换化简矩阵,求出它的秩。
能用矩阵的秩判定线性方程组是否有解以及有多少个解。
掌握对含有参变数的线性方程组有解无解的一般方法。
教学内容:
定义1 在一个S行t列矩阵中,任取K列(K〈=S,K〈=T〉。位于这些行列交点处的元素所构成的行列式叫作这个矩阵的一个K阶子式。
定义2 一个矩阵中不等于零的子式是最大阶数叫作这个矩阵的秩。若一个矩阵没有不等于零的子式,就认为这个矩阵的秩是零。
按照定义,一个矩阵的秩既不能超过这个矩阵的行的个数,也不能超过它的列的个数。一个矩阵A的秩用秩A来表示。
显然,只有当一个矩阵的元素都是零时,这个矩阵的秩才能是零。
这样,在矩阵(3)中出现的整数r,在任何情形(包括r=0的情形),都等于矩阵(3)的秩。
现在我们要证明,r也是线性方程组(1)的系数矩阵(2)的秩,因此r是由系数矩阵唯一决定的。
初等变换不改变矩阵的秩。
证我们先说明以下事实:若是对一个矩阵A施行某一种行或列初等变换而得到矩阵B,那么对B施行同一种初等变换又可以得到A。事实上,若是变换A的第I行与第j行乘以一个不等于零的数a而得到B,那么把B的第i行乘以就又得到A;若是把A的第j行乘以—K加到第I行就又得到A。列初等变换的情形显然完全一样。
现在我们就第三种行初等变换来证明定理。
设把一个矩阵A的第j行乘以数k 加到第I行而得到矩阵B:
……………………………
ai1……ain a i1+kaj1 …ain+kajn
A=……………, B= …………………
aj1……ajn aj1 ajn
………………
并且A的秩是r。我们要证明,B的秩的秩也是r。我们先证明,B的秩不能超过r,
若是矩阵B没有阶数大于r的子式,那么它当然也没有阶数大于r的不等于零的子式,因而它的秩显然不能超过r.
设矩阵B有s阶子式D,而s>r,那么有三种可能情形。
D不含第I行的元素:这时D卢是矩阵A的一个s阶子式,而s大于A有秩,因此D=0。
D含第I行的元素,也含第j 行的元素,这时,,得
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ait1+kajt1 …aits+kajts ait1…ajts
D= …………………………= ………………=0
ajt1…ajts aji1……ajts
…………………………………………
因为后一行列式是矩阵是矩阵A的一个s阶子式。
D含第I行的元素,但不含第j行的元素。这时
……………………
D= ait1+kajt1 …aits+kajts =D1+KD2,
……………………
这里
……………………………
D1= ait1 … aits D2= ajt1 … ajts
……………………………
由于D1是矩阵A的一个s阶子式,而D2与A的一个s阶子式最多差一个符号,所以这两个行列式都等于零,从而D=0。
因此,在矩阵B有阶数大于r 的子式的情形,B的任何这样的子式都等于零,而B的秩也不能超过r.
这样,在任何情形,我们都有,秩B 〈=秩A。
但我们也可以对矩阵B施行第三种行初等变换而得到矩阵A。因此,我们也有,秩A〈=B。