矩阵的秩2.doc

文档介绍：§ 矩阵的秩
一、矩阵的行秩、列秩、秩
定义矩阵的行秩=矩阵的行向量组的秩;
矩阵的列秩=矩阵的列向量组的秩.
引理如果齐次线性方程组
(1)
的系数矩阵

的行秩,那么它有非零解.(若(1)只有零解,则)
定理4 矩阵的行秩=矩阵的列秩.
定义矩阵的行秩与矩阵的列秩统称为矩阵的秩,记作.
二、方阵的秩与行列式的关系
定理5 ,
(,也称为满秩矩阵.)
推论1 齐次线性方程组

有非零解系数矩阵的行列式=0.
只有零解.
推论2 n个n维向量,j=1,2,…,n
线性无关
线性相关=0
三、一般矩阵的秩与行列式的关系
1. k级子式:在一个s×n矩阵中任意选定k行k列位于这些行和列的交点上的个元素按原来次序所组成的k级行列式,称为k级子式.
2. 矩阵的秩与行列式的关系
定理6 矩阵的秩为中有一个级子式不等于0,且所有级子式等于0.
推论1 的所有级子式等于0
有一个级子式不为0
推论2 在秩为的矩阵中,不为0的级子式所在的行(列)正是的行(列)向量组的一个极大无关组;.
四、矩阵秩的计算
方法一:定义法:求的行(列)向量组的秩;
方法二:定理法:利用定理6,中最高阶非0子式的阶数;
方法三:化为阶梯阵.